Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas y, e pelos intervalos indicados:
y=x^{-4 / 3}, de -1 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva y=x^{-4/3} no intervalo -1\le x\le 1.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é y=x^{-4/3}.
  • O intervalo é [-1,1].
  • A função não está definida em x=0 (há uma singularidade em 0), pois x^{-4/3} fica infinite quando x\to 0.
  • A função é positiva para x\ne 0 e é par: x^{-4/3}=(-x)^{-4/3}.
    A pergunta implícita é: existe área finita sob essa curva entre -1 e 1, e se existir, qual é o seu valor?

Passo 2

Como calcular área sob uma curva: a área procurada, se existir finita, é dada pela integral definida
\int_{-1}^{1} x^{-4/3}\,dx.
Porém, devido à singularidade em x=0, essa integral é imprópria e deve ser entendida como soma de duas integrais impróprias:
\int_{-1}^{1} x^{-4/3}\,dx = \int_{-1}^{0} x^{-4/3}\,dx + \int_{0}^{1} x^{-4/3}\,dx,
onde cada integral é definida como limite apropriado. Se qualquer uma das duas divergir (for +\infty), a integral total diverge e a área não é finita.
Regra útil para potências: para a\ne -1,
\int x^{a}\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C,
onde a é o expoente. Aplicamos isso com a=-4/3 nas integrais, tomando os limites corretos por causa da singularidade.
Também existe um critério rápido para integrais do tipo \int_{0}^{1} x^{-p}\,dx: elas convergem se, e somente se, p<1; se p\ge 1 divergem para +\infty. Vamos usar esse conhecimento (vou mostrar porque isso vale) e depois calcular explicitamente.

Passo 3

Calcular explicitamente a integral da direita, \int_{0}^{1} x^{-4/3}\,dx, como integral imprópria:
\int_{0}^{1} x^{-4/3}\,dx=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\varepsilon}^{1} x^{-4/3}\,dx.
Usando a fórmula da antiderivada com a=-4/3 (aqui a+1=-1/3\ne -1):
\int x^{-4/3}\,dx=\frac{x^{-1/3}}{-1/3}=-3x^{-1/3}+C.
Avaliamo-la entre \varepsilon e 1:
\int_{\varepsilon}^{1} x^{-4/3}\,dx=\bigl[-3x^{-1/3}\bigr]_{\varepsilon}^{1}=-3\cdot 1^{-1/3}-\bigl(-3\varepsilon^{-1/3}\bigr)=-3+3\varepsilon^{-1/3}.
Agora o limite quando \varepsilon\to 0^+:
\lim_{\varepsilon\to 0^+}\bigl(-3+3\varepsilon^{-1/3}\bigr)=+\infty,
porque \varepsilon^{-1/3}\to+\infty. Portanto
\int_{0}^{1} x^{-4/3}\,dx=+\infty,
ou seja, a integral da metade direita já diverge.
Comentário com o critério: aqui temos p=4/3>1, logo pela regra \int_{0}^{1} x^{-p}\,dx diverge — isso coincide com o cálculo acima.

Passo 4

Devido à paridade da função ( x^{-4/3} é par) temos
\int_{-1}^{0} x^{-4/3}\,dx=\int_{0}^{1} x^{-4/3}\,dx.
Como a integral do lado direito diverge para +\infty, a integral do lado esquerdo também diverge. Consequentemente a integral total
\int_{-1}^{1} x^{-4/3}\,dx
diverge (vai para +\infty). Em termos de área geométrica, isto significa que a “área” sob a curva entre -1 e 1 não é finita — a região tem área infinita.

Passo 5

Conclusão final e interpretação prática: a singularidade em x=0 é demasiado forte ( x^{-4/3} cresce como 1/|x|^{4/3} quando x\to 0), e por isso a integral imprópria não converge. Logo não existe área finita limitada pela curva y=x^{-4/3} entre -1 e 1; a área é infinita.
Força aí — a resposta é negativa: a área não existe em valor finito porque a integral diverge.

Resposta

A área não existe (a integral imprópria \displaystyle\int_{-1}^{1} x^{-4/3}\,dx diverge para +\infty).

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