Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas
, e pelos intervalos indicados:
, de
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela curva
no intervalo
.
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é
. - O intervalo é
. - A função não está definida em
(há uma singularidade em ), pois fica infinite quando . - A função é positiva para
e é par: .
A pergunta implícita é: existe área finita sob essa curva entree , e se existir, qual é o seu valor?
Passo 2
Como calcular área sob uma curva: a área procurada, se existir finita, é dada pela integral definida
Porém, devido à singularidade em
, essa integral é imprópria e deve ser entendida como soma de duas integrais impróprias:
onde cada integral é definida como limite apropriado. Se qualquer uma das duas divergir (for
), a integral total diverge e a área não é finita.
Regra útil para potências: para
,
onde
é o expoente. Aplicamos isso com
nas integrais, tomando os limites corretos por causa da singularidade.
Também existe um critério rápido para integrais do tipo
: elas convergem se, e somente se,
; se
divergem para
. Vamos usar esse conhecimento (vou mostrar porque isso vale) e depois calcular explicitamente.
Passo 3
Calcular explicitamente a integral da direita,
, como integral imprópria:
Usando a fórmula da antiderivada com
(aqui
):
Avaliamo-la entre
e
:
Agora o limite quando
:
porque
. Portanto
ou seja, a integral da metade direita já diverge.
Comentário com o critério: aqui temos
, logo pela regra
diverge — isso coincide com o cálculo acima.
Passo 4
Devido à paridade da função (
é par) temos
Como a integral do lado direito diverge para
, a integral do lado esquerdo também diverge. Consequentemente a integral total
diverge (vai para
). Em termos de área geométrica, isto significa que a “área” sob a curva entre
e
não é finita — a região tem área infinita.
Passo 5
Conclusão final e interpretação prática: a singularidade em
é demasiado forte (
cresce como
quando
), e por isso a integral imprópria não converge. Logo não existe área finita limitada pela curva
entre
e
; a área é infinita.
Força aí — a resposta é negativa: a área não existe em valor finito porque a integral diverge.
Resposta
A área não existe (a integral imprópria
diverge para
).