Faça o que é pedido em cada item:
Calcule a área do triângulo formado pelos vértices A=(-1,4), B=(\sqrt{3}, 2) e C=(-3,-2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do triângulo com vértices \,A=(-1,4)\,,\;B=(\sqrt{3},2)\, e \,C=(-3,-2)\,.
Dados fornecidos: as coordenadas de \,A\,,\;B e \,C.
Pergunta: qual é a área do triângulo formado por esses três pontos?

Passo 2

Vamos usar uma fórmula prática e direta: a área de um triângulo no plano pode ser obtida como metade do valor absoluto do determinante formado pelos vetores que saem de um vértice para os outros dois. Em fórmula:
\text{Área}=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} \\\ y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} \end{pmatrix}\right|Á
Aqui \,x_A,y_A são as coordenadas de \,A, \,x_B,y_B de \,B e \,x_C,y_C de \,C.
Explicação didática: o determinante dessa matriz dá a área orientada do paralelogramo gerado pelos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}; dividindo por 2 obtemos a área do triângulo \triangle ABC. Essa é uma técnica simples que dá conta sem precisar montar equações complexas.

Passo 3

Calcular as componentes dos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
x_{B}-x_{A}=\sqrt{3}-(-1)=\sqrt{3}+1
y_{B}-y_{A}=2-4=-2
x_{C}-x_{A}=-3-(-1)=-2
y_{C}-y_{A}=-2-4=-6
Portanto a matriz do determinante é
\begin{pmatrix} \sqrt{3}+1 & -2 \\\\ -2 & -6 \end{pmatrix}

Passo 4

Calcular o determinante da matriz 2\times2. A regra é
\det\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc.
Aplicando aos nossos valores:
\det=\;(\sqrt{3}+1)\cdot(-6)\;-\;(-2)\cdot(-2).
Agora desenvolvendo:
(\sqrt{3}+1)\cdot(-6)=-6\sqrt{3}-6
(-2)\cdot(-2)=4
Logo
\det=-6\sqrt{3}-6-4=-6\sqrt{3}-10.

Passo 5

A área é metade do valor absoluto do determinante:
\text{Área}=\frac{1}{2}\left| -6\sqrt{3}-10 \right|=\frac{1}{2}\left(6\sqrt{3}+10\right).Á
Simplificando:
\text{Área}=3\sqrt{3}+5.Á
Pronto — fizemos passo a passo: montamos os vetores, calculamos o determinante e tiramos metade do valor absoluto para obter a área.

Resposta

3\sqrt{3}+5

Exercícios relacionados