Faça o que é pedido em cada item:
Determine o ponto
colinear simultaneamente com
e
e com
e
.
Determine o ponto
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o ponto
que seja colinear ao mesmo tempo com os pares de pontos dados. As perguntas e os dados são:
- Pergunta: encontrar o ponto
que pertence à reta definida por e e também pertence à reta definida por e . Ou seja, é a interseção das retas e . - Dados (pego diretamente do enunciado):
-
Não começamos a resolver ainda; apenas identificamos o que é pedido e listamos todos os dados relevantes.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): o que significa "colinear com
e
"? Significa que
está sobre a reta que passa por
e
. Para duas retas diferentes, a interseção são os pontos que pertencem às duas retas ao mesmo tempo. Assim, para achar
basta obter as equações das retas
e
e resolver o sistema que iguala essas equações.
Vamos usar a forma reduzida da equação da reta (equação “inclinação-intercepto”):
onde:
-
é a inclinação (declive, slope) da reta, que indica quanto varia quando aumenta uma unidade; -
é o coeficiente linear (intercepto em ), ou seja, o valor de quando .
Fórmula para calcular a inclinação
entre dois pontos
e
:
Aqui vamos aplicar essa fórmula aos pares
e
.
Passo 3
Calcular a inclinação da reta
. Usamos
e
. Aplicando a fórmula:
Expliquei passo a passo: subtraí as coordenadas
e as coordenadas
respectivamente;
e
. Simplificando a fração
obtive
.
Passo 4
Montar a equação da reta
usando a forma
. Já temos
. Para achar
podemos usar um dos pontos, por exemplo
. Substituímos
e
na expressão
e resolvemos para
:
Calculando
. Então
Passo a passo para encontrar
: escrevo
como fração com denominador
:
. Assim
Portanto a equação da reta
é
Passo 5
Calcular a inclinação da reta
. Usamos
e
. Aplicando a fórmula:
Passo a passo:
e
; assim
.
Passo 6
Montar a equação da reta
. Com
e usando, por exemplo,
— aqui é muito fácil porque
— substituímos em
:
Logo a equação da reta
é
Observação: eu peguei o valor de
do enunciado para calcular
.
Passo 7
Agora achamos a interseção das retas
e
. Igualamos as duas expressões para
:
Resolvemos essa equação para
. Para evitar frações, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora isolamos
: somando
aos dois lados e subtraindo
dos dois lados,
Logo
Passo 8
Com
encontramos
substituindo em qualquer das equações das retas (uso a reta
porque é mais simples):
Também posso verificar na reta
:
. Confere.
Passo 9
Conclusão e cheque final: o ponto de interseção é
. Verifiquei que esse ponto satisfaz ambas as equações de reta, então é o ponto buscado.