Faça o que é pedido em cada item:
Determine o ponto P=(a, b) colinear simultaneamente com A=(3,-4) e B=(-1,10) e com C=(2,-3) e D=(0,9).

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o ponto P=(a,b) que seja colinear ao mesmo tempo com os pares de pontos dados. As perguntas e os dados são:
  • Pergunta: encontrar o ponto P=(a,b) que pertence à reta definida por A e B e também pertence à reta definida por C e D. Ou seja, P é a interseção das retas AB e CD.
  • Dados (pego diretamente do enunciado):
    • A=(3,-4)
    • B=(-1,10)
    • C=(2,-3)
    • D=(0,9)
Não começamos a resolver ainda; apenas identificamos o que é pedido e listamos todos os dados relevantes.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o que significa "colinear com A e B"? Significa que P está sobre a reta que passa por A e B. Para duas retas diferentes, a interseção são os pontos que pertencem às duas retas ao mesmo tempo. Assim, para achar P basta obter as equações das retas AB e CD e resolver o sistema que iguala essas equações.
Vamos usar a forma reduzida da equação da reta (equação “inclinação-intercepto”): y = m x + c, onde:
  • m é a inclinação (declive, slope) da reta, que indica quanto y varia quando x aumenta uma unidade;
  • c é o coeficiente linear (intercepto em y), ou seja, o valor de y quando x=0.
Fórmula para calcular a inclinação m entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui vamos aplicar essa fórmula aos pares (A,B) e (C,D).

Passo 3

Calcular a inclinação da reta AB. Usamos A=(3,-4) e B=(-1,10). Aplicando a fórmula:
m_{AB}=\frac{10-(-4)}{-1-3}=\frac{14}{-4}=-\frac{7}{2}.
Expliquei passo a passo: subtraí as coordenadas y e as coordenadas x respectivamente; 10-(-4)=14 e -1-3=-4. Simplificando a fração 14/(-4) obtive -7/2.

Passo 4

Montar a equação da reta AB usando a forma y=m x + c. Já temos m_{AB}=-\frac{7}{2}. Para achar c podemos usar um dos pontos, por exemplo A=(3,-4). Substituímos x=3 e y=-4 na expressão y=m x + c e resolvemos para c:
-4 = -\frac{7}{2}\cdot 3 + c.
Calculando -\frac{7}{2}\cdot 3 = -\frac{21}{2}. Então
-4 = -\frac{21}{2} + c.
Passo a passo para encontrar c: escrevo -4 como fração com denominador 2: -4 = -\frac{8}{2}. Assim
-\frac{8}{2} = -\frac{21}{2} + c \quad\Rightarrow\quad c = -\frac{8}{2} + \frac{21}{2} = \frac{13}{2}.
Portanto a equação da reta AB é
\text{reta }AB:\quad y = -\frac{7}{2}x + \frac{13}{2}.

Passo 5

Calcular a inclinação da reta CD. Usamos C=(2,-3) e D=(0,9). Aplicando a fórmula:
m_{CD}=\frac{9-(-3)}{0-2}=\frac{12}{-2}=-6.
Passo a passo: 9-(-3)=12 e 0-2=-2; assim 12/(-2)=-6.

Passo 6

Montar a equação da reta CD. Com m_{CD}=-6 e usando, por exemplo, D=(0,9) — aqui é muito fácil porque x=0 — substituímos em y=m x + c:
9 = -6\cdot 0 + c \quad\Rightarrow\quad c=9.
Logo a equação da reta CD é
\text{reta }CD:\quad y = -6x + 9.
Observação: eu peguei o valor de D=(0,9) do enunciado para calcular c.

Passo 7

Agora achamos a interseção das retas AB e CD. Igualamos as duas expressões para y:
-\frac{7}{2}x + \frac{13}{2} = -6x + 9.
Resolvemos essa equação para x. Para evitar frações, multiplicamos ambos os lados por 2:
-7x + 13 = -12x + 18.
Agora isolamos x: somando 12x aos dois lados e subtraindo 13 dos dois lados,
-7x + 12x = 18 - 13 \quad\Rightarrow\quad 5x = 5.
Logo
x = 1.

Passo 8

Com x=1 encontramos y substituindo em qualquer das equações das retas (uso a reta CD porque é mais simples):
y = -6\cdot 1 + 9 = -6 + 9 = 3.
Também posso verificar na reta AB: -\frac{7}{2}\cdot 1 + \frac{13}{2} = -\frac{7}{2} + \frac{13}{2} = \frac{6}{2} = 3. Confere.

Passo 9

Conclusão e cheque final: o ponto de interseção é P=(1,3). Verifiquei que esse ponto satisfaz ambas as equações de reta, então é o ponto buscado.

Resposta

(1,3)

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