Faça o produto escalar e o produto vetorial dos vetores abaixo, e calcule o ânguic entre os vetores.
(b) A=3.00 t+5.00 j and B=10.00 i+6.00 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto escalar e o produto vetorial dos vetores dados, além de encontrar o ângulo entre eles. Estamos trabalhando com álgebra vetorial, então vamos usar algumas fórmulas básicas dessa matéria para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores A e B. O produto escalar, ou produto interno, entre dois vetores é uma forma de multiplicá-los que resulta em um número (escalar). A fórmula para o produto escalar é:
A cdot B = Ax times Bx + Ay times By + Az times Bz
No nosso caso, os vetores são:
A = 3.00 t + 5.00 j
B = 10.00 i + 6.00 j
Observando os componentes, percebemos que o vetor A tem componentes nas direções t e j, enquanto B tem componentes em i e j. Assumindo que t e i sejam direções perpendiculares (como x e y), podemos calcular o produto escalar considerando que a componente t de A não tem correspondência direta em B.
Então, o produto escalar será:
A cdot B = (3.00 times 0) + (5.00 times 6.00) = 0 + 30.00 = 30.00

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre A e B. O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
A times B = i & j & k Ax & Ay & Az Bx & By & Bz
Como nossos vetores estão no plano, podemos considerar a componente k como zero para ambos. Portanto:
A = 3.00 i + 5.00 j + 0 k
B = 10.00 i + 6.00 j + 0 k
Calculando o determinante:
A times B = i(5.00 times 0 - 0 times 6.00) - j(3.00 times 0 - 0 times 10.00) + k(3.00 times 6.00 - 5.00 times 10.00)
= i(0) - j(0) + k(18.00 - 50.00)
= 0 i - 0 j -32.00 k
= -32.00 k
Então, o produto vetorial é -32.00 k.

Passo 4

Por último, vamos encontrar o ângulo entre os vetores A e B. Para isso, usamos a relação envolvendo o produto escalar:
A cdot B = |A| times |B| times cos(theta)
Onde:
  • |A| e |B| são as magnitudes dos vetores.
  • theta é o ângulo entre eles.
Primeiro, calculamos as magnitudes:
|A| = raiz3.00^2 + 5.00^2 = raiz9 + 25 = raiz34 approx 5.830
|B| = raiz10.00^2 + 6.00^2 = raiz100 + 36 = raiz136 approx 11.661
Agora, rearranjamos a fórmula para encontrar theta:
cos(theta) = A cdot B|A| times |B| = 30.005.830 times 11.661 approx 30.0067.83 approx 0.442
Finalmente, aplicamos a função arco cosseno para encontrar o ângulo:
theta = cos^-1(0.442) approx 63.6^circ

Resposta

O produto escalar é 30.00, o produto vetorial é -32.00, k e o ângulo entre os vetores é aproximadamente 63.6^circ.

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