Faça o produto escalar e o produto vetorial dos vetores abaixo, e calcule o ânguic entre os vetores.
(b) and
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto escalar e o produto vetorial dos vetores dados, além de encontrar o ângulo entre eles. Estamos trabalhando com álgebra vetorial, então vamos usar algumas fórmulas básicas dessa matéria para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores e . O produto escalar, ou produto interno, entre dois vetores é uma forma de multiplicá-los que resulta em um número (escalar). A fórmula para o produto escalar é:
No nosso caso, os vetores são:
Observando os componentes, percebemos que o vetor tem componentes nas direções e , enquanto tem componentes em e . Assumindo que e sejam direções perpendiculares (como e ), podemos calcular o produto escalar considerando que a componente de não tem correspondência direta em .
Então, o produto escalar será:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Como nossos vetores estão no plano, podemos considerar a componente k como zero para ambos. Portanto:
A = 3.00 i + 5.00 j + 0 k
B = 10.00 i + 6.00 j + 0 k
Calculando o determinante:
A times B = i(5.00 times 0 - 0 times 6.00) - j(3.00 times 0 - 0 times 10.00) + k(3.00 times 6.00 - 5.00 times 10.00)
= i(0) - j(0) + k(18.00 - 50.00)
= 0 i - 0 j -32.00 k
= -32.00 k
Então, o produto vetorial é -32.00 k.
Passo 4
Por último, vamos encontrar o ângulo entre os vetores A e B. Para isso, usamos a relação envolvendo o produto escalar: