Questão 19 - indo um pouco além) Considere um objeto em órbita elíptica e que sua velocidade no periastro seja representada por um múltiplo de sua velocidade de escape nesta mesma posição ( vp=k cdot v esc ). Demonstre que a excentricidade desta órbita é escrita simplesmente como: e=2 k^2-1.

Passo 1

O enunciado diz que um corpo descreve uma órbita elíptica de semieixo maior a e excentricidade e, e que sua velocidade no periastro vale
vp = k , vesc
sendo vesc a velocidade de escape naquele ponto. Queremos mostrar que
e = 2,k^2 - 1
Para isso vamos usar a equação de vis-viva no periastro e a definição de velocidade de escape.

Passo 2

Na posição do periastro o raio vale rp=a(1-e). A equação de vis-viva dá
vp^2 ;=;mul(tfrac2rp-tfrac1ar),
onde mu=GM. Substituindo rp=a(1-e) temos
vp^2 =mul(tfrac2a(1-e)-tfrac1ar) =mu;2-(1-e)a(1-e) =mu;1+ea(1-e)

Passo 3

A velocidade de escape à distância rp é
vesc^2 =2murp =2mua(1-e)

Passo 4

Formando a razão entre vp^2 e vesc^2 vem
vp^2vesc^2 =mu1+ea(1-e)2mua(1-e) =1+e2
Mas pela hipótese vp=k,vesc, ou seja
k^2=vp^2vesc^2 =1+e2

Passo 5

Isolando e na relação acima:
1+e=2,k^2 Longrightarrow e=2,k^2-1

Resposta

e = 2,k^2 - 1

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