Questão 19 - indo um pouco além) Considere um objeto em órbita elíptica e que sua velocidade no periastro seja representada por um múltiplo de sua velocidade de escape nesta mesma posição (
). Demonstre que a excentricidade desta órbita é escrita simplesmente como:
.
Passo 1
O enunciado diz que um corpo descreve uma órbita elíptica de semieixo maior
e excentricidade
, e que sua velocidade no periastro vale
sendo
a velocidade de escape naquele ponto. Queremos mostrar que
Para isso vamos usar a equação de vis-viva no periastro e a definição de velocidade de escape.
Passo 2
Na posição do periastro o raio vale
. A equação de vis-viva dá
onde
. Substituindo
temos
Passo 3
A velocidade de escape à distância
é
Passo 4
Formando a razão entre
e
vem
Mas pela hipótese
, ou seja
Passo 5
Isolando
na relação acima: