Questão 18) O asteroide denominado 1036 Ganymed é o maior asteroide próximo da Terra, com um diâmetro entre 32 km a 34 km descoberto em 1924. Em um determinado ponto de sua órbita, encontra-se a uma distância de 3,5 times 10^11 m do Sol e com uma velocidade de 20,617 km / s em relação ao Sol. Neste instante, o ângulo descrito entre o vetor velocidade e a distância até o Sol é de 121,6^circ. Determine (a) O semi-eixo maior de sua órbita; (b) Seu período de translação; (c) A excentricidade de sua órbita e (d) as velocidades no afélio e periélio. (e) Qual deveria ser a velocidade deste objeto caso quisesse escapar da atração gravitacional do Sol a partir deste ponto da órbita?

Passo 1

O enunciado trata de mecânica orbital de dois corpos (Sol–asteroide). Temos em um dado ponto da órbita:
– distância ao Sol r = 3,5times10^11,m
– velocidade escalar v = 20,617,km/s =2,0617times10^4,m/s
– ângulo entre r e v: theta=121,6^circ
Precisamos achar:
(a) semi-eixo maior a (vis-viva),
(b) período T (terceira lei de Kepler),
(c) excentricidade e (momento angular específico),
(d) velocidades no periélio e no afélio,
(e) velocidade de escape neste ponto.

Passo 2

Para achar a usamos a equação de vis-viva:
v^2 = GMl(2r-1ar),
onde GM=1,327times10^20, m^3/ s^2.
Isolando a:
1a = 2r-v^2GM, a = 1 2r-v^2GM
Substituindo r=3,5times10^11,m e v^2=(2,0617times10^4)^2, m^2/ s^2, obtemos
a approx 3,98times10^11 m (approx2,66 UA)

Passo 3

O período de translação T vem de
T = 2piraiza^3GM
Com a=3,98times10^11,m e GM=1,327times10^20, m^3/ s^2,
T approx 1,37times10^8 s approx 4,35 anos

Passo 4

Calculamos o momento angular específico
h = r,v,sintheta =3,5times10^11times2,0617times10^4timessin121,6^circ approx6,14times10^15 m^2/s
Em órbita elíptica vale
h^2 = GM,a,(1-e^2) Longrightarrow e = raiz1-h^2GM,a
Substituindo, achamos
e approx0,536

Passo 5

Os raios do periélio e afélio são
rp = a(1-e), ra = a(1+e),
e as velocidades nesses pontos são
vp = hrp, va = hra
Numericamente:
rpapprox1,85times10^11 m, raapprox6,12times10^11 m,
vpapprox3,33times10^4 m/s=33,3 km/s, vaapprox1,00times10^4 m/s=10,0 km/s

Passo 6

A velocidade de escape a partir de r é
vrm esc = raiz2GMr approxraiz2times1,327times10^203,5times10^11 approx2,75times10^4 m/s=27,5 km/s

Resposta

(a) aapprox3,98times10^11,m approx2,66,UA
(b) Tapprox1,37times10^8,s approx4,35,anos
(c) eapprox0,536
(d) vpapprox33,3,km/s e vaapprox10,0,km/s
(e) vrm escapprox27,5,km/s

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