Questão 18) O asteroide denominado 1036 Ganymed é o maior asteroide próximo da Terra, com um diâmetro entre 32 km a 34 km descoberto em 1924. Em um determinado ponto de sua órbita, encontra-se a uma distância de
do Sol e com uma velocidade de
em relação ao Sol. Neste instante, o ângulo descrito entre o vetor velocidade e a distância até o Sol é de
. Determine (a) O semi-eixo maior de sua órbita; (b) Seu período de translação; (c) A excentricidade de sua órbita e (d) as velocidades no afélio e periélio. (e) Qual deveria ser a velocidade deste objeto caso quisesse escapar da atração gravitacional do Sol a partir deste ponto da órbita?
Passo 1
O enunciado trata de mecânica orbital de dois corpos (Sol–asteroide). Temos em um dado ponto da órbita:
– distância ao Sol ,m
– velocidade escalar ,km/s
,m/s
– ângulo entre e
:
Precisamos achar:
(a) semi-eixo maior (vis-viva),
(b) período (terceira lei de Kepler),
(c) excentricidade (momento angular específico),
(d) velocidades no periélio e no afélio,
(e) velocidade de escape neste ponto.
– distância ao Sol
– velocidade escalar
– ângulo entre
Precisamos achar:
(a) semi-eixo maior
(b) período
(c) excentricidade
(d) velocidades no periélio e no afélio,
(e) velocidade de escape neste ponto.
Passo 2
Para achar
usamos a equação de vis-viva:
onde
,
/
.
Isolando :
Isolando
Substituindo
,m e
,
/
, obtemos
Passo 3
O período de translação
vem de
Com
,m e
,
/
,
Passo 4
Calculamos o momento angular específico
Em órbita elíptica vale
Substituindo, achamos
Passo 5
Os raios do periélio e afélio são
e as velocidades nesses pontos são
Numericamente:
Passo 6
A velocidade de escape a partir de
é
Resposta
(a)
,m
,UA
(b) ,s
,anos
(c)
(d) ,km/s e
,km/s
(e) ,km/s
(b)
(c)
(d)
(e)