Faça a propagação de erros dos resultados dos seguintes cálculos. Arredonde cada resultado de maneira que contenham apenas algarismos significativos.
y=\frac{157( \pm 6)-59( \pm 3)}{1220( \pm 1)+77( \pm 8)}=7,5559 \times 10^{-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a propagação de erros da quantidade
y=\frac{157(\pm 6)-59(\pm 3)}{1220(\pm 1)+77(\pm 8)}
Listei os dados fornecidos (cada valor com sua incerteza):
A=157(\pm 6),\quad B=59(\pm 3),\quad C=1220(\pm 1),\quad D=77(\pm 8).
A tarefa é obter o valor numérico de y e sua incerteza \sigma_y, usando propagação de erros adequada, e finalmente arredondar o resultado de forma apropriada (apenas algarismos significativos).

Passo 2

Regra para soma e subtração (explicação didática): quando somamos ou subtraímos medidas independentes com incertezas pequenas e estatisticamente independentes, a incerteza absoluta do resultado é dada pela soma em quadratura das incertezas individuais. Matematicamente, para X=X_1\pm\sigma_{1} e Y=X_2\pm\sigma_{2},
\sigma_{X\pm Y}=\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}.
Isso acontece porque as variações independentes somam-se por quadratura (é a regra de variância para somas de variáveis independentes). Vou aplicar isso ao numerador e ao denominador.

Passo 3

Calcule o numerador (A-B) e sua incerteza.
Valor:
A-B=157-59=98.
Incerteza (soma em quadratura):
\sigma_{A-B}=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}\approx 6,708.
Logo, o numerador é
\text{num}=98(\pm 6,708).

Passo 4

Calcule o denominador (C+D) e sua incerteza.
Valor:
C+D=1220+77=1297.
Incerteza (soma em quadratura):
\sigma_{C+D}=\sqrt{1^{2}+8^{2}}=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}\approx 8,062.
Logo, o denominador é
\text{den}=1297(\pm 8,062).

Passo 5

Regra para divisão (explicação didática): para o quociente y=\dfrac{X}{Z} com X e Z independentes e incertezas pequenas, as incertezas relativas somam-se em quadratura:
\left(\frac{\sigma_{y}}{y}\right)^{2}=\left(\frac{\sigma_{X}}{X}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{Z}}{Z}\right)^{2}.
Aqui X é o numerador e Z é o denominador. Note que usamos incertezas relativas porque a operação é multiplicativa/divisiva; isso transforma variações percentuais em contribuição para a variação percentual do resultado.

Passo 6

Calcule y (valor central) e a incerteza \sigma_y aplicando a fórmula da passo anterior.
Valor central:
y=\frac{\text{num}}{\text{den}}=\frac{98}{1297}\approx 0,07555898\quad(\text{ou }7,555898\times10^{-2}).
Incertezas relativas:
\frac{\sigma_{\text{num}}}{\text{num}}=\frac{6,708}{98}\approx 0,068443,
\frac{\sigma_{\text{den}}}{\text{den}}=\frac{8,062}{1297}\approx 0,006217.
Soma em quadratura das relativas:
\left(\frac{\sigma_{y}}{y}\right)=\sqrt{0,068443^{2}+0,006217^{2}} =\sqrt{0,004685+0,0000386}\approx\sqrt{0,0047236}\approx 0,068745.
Agora a incerteza absoluta:
\sigma_{y}=y\cdot 0,068745\approx 0,07555898\times 0,068745\approx 0,0051935.
Portanto, antes do arredondamento temos
y\approx 0,07555898(\pm 0,0051935).

Passo 7

Como arredondar (regras práticas e aplicação): regra usual prática é escrever a incerteza com uma (ou às vezes duas) algarismos significativos e então arredondar o valor central para a mesma ordem decimal. Aqui \sigma_{y}\approx 0,0051935. O primeiro algarismo significativo é 5, portanto usando uma algarismo significativo arredondamos \sigma_{y} para
\sigma_{y}\approx 0,005.
Agora alinhamos o valor central à mesma casa decimal (a casa dos milhares, 0,001 é milésimo; 0,005 tem precisão até o milésimo), então arredondamos y para o milésimo mais próximo:
y\approx 0,07555898\approx 0,076.
Se preferir escrever em notação científica para ficar parecido com o enunciado:
y=(7,6\pm 0,5)\times 10^{-2}.
Ambas as formas representam a mesma informação; mantive a vírgula como separador decimal (estilo brasileiro).

Resposta

y=0,076(\pm 0,005)

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