Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
x e^{x}=1

Passo 1

O enunciado pede: fazer quatro iterações do método da bisseção para encontrar uma raiz da equação
x e^{x}=1
e “calcular o erro a cada iteração”. As informações dadas são apenas a equação; é preciso escolher um intervalo inicial que contenha uma raiz e aplicar o método da bisseção quatro vezes, reportando o erro de cada iteração.
Para manipular convenientemente, vamos definir a função
f(x)=x e^{x}-1,
pois as raízes de f são as soluções da equação dada. O objetivo explícito: obter quatro aproximações sucessivas (cada uma é o ponto médio do intervalo corrente) e informar o erro em cada etapa.

Passo 2

Escolher um intervalo inicial que contenha a raiz. Primeiro calculemos sinais em pontos fáceis:
f(0)=0\cdot e^{0}-1=-1<0,
f(1)=1\cdot e^{1}-1=e-1\approx 2{,}718281828-1=1{,}718281828>0.
Como f(0)<0 e f(1)>0 e f é contínua (produto de funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em [0,1]. Então vamos usar o intervalo inicial [a_0,b_0]=[0,1].

Passo 3

Explicando o método da bisseção (passo-a-passo e erro teórico):
  • Em cada iteração toma-se o ponto médio do intervalo atual. Se chamarmos o intervalo atual de [a,b], o ponto médio é m=\frac{a+b}{2}.
  • Calcula-se f(m). Se f(m)=0 a raiz é m. Se f(m) tem o mesmo sinal de f(a), a raíz está em [m,b]; se tem o mesmo sinal de f(b), a raíz está em [a,m]. Assim reduzimos o intervalo pela metade em cada iteração.
  • Erro teórico (cota do erro): se L_0=b_0-a_0 é o comprimento inicial do intervalo, depois de n iterações o comprimento do intervalo é L_n=L_0/2^{n}. A aproximação m_n (o ponto médio da iteração n) fica no centro do intervalo, logo a máxima distância entre m_n e a raiz real r satisfaz |m_n-r|\le \frac{L_n}{2}=\frac{b_0-a_0}{2^{n+1}}.Neste problema b_0-a_0=1, então a cota teórica do erro após n iterações é |m_n-r|\le \frac{1}{2^{n+1}}.
Observação: para calcular o “erro real” em cada iteração é preciso conhecer (ou estimar) a raiz exata; a raiz exata da equação x e^{x}=1 é x=W(1) onde W é a função de Lambert, cujo valor numérico é
r \approx 0{,}5671432904097838.
Vou usar esse valor apenas para calcular o erro real numérico (na prova, se não conhecer W, basta usar a cota teórica acima).

Passo 4

Intervalo inicial: [a_0,b_0]=[0,1].
  • Ponto médio:
    m_1=\frac{0+1}{2}=0{,}5.
  • Avaliação da função (usar calculadora ou tabelas para e^{0{,}5}):
    f(0{,}5)=0{,}5\,e^{0{,}5}-1\approx 0{,}5\cdot 1{,}648721270700128 -1 \approx -0{,}1756393646499361.
    Como f(0{,}5)<0 e f(1)>0, a raiz está em [0{,}5,1]. Novo intervalo: [a_1,b_1]=[0{,}5,1].
  • Cota teórica do erro após 1 iteração:
    |m_1-r|\le \frac{1}{2^{1+1}}=\frac{1}{4}=0{,}25.
  • Erro real (usando r\approx 0{,}5671432904097838):
    |m_1-r|=|0{,}5-0{,}5671432904097838|\approx 0{,}0671432904097838.

Passo 5

Intervalo atual: [a_1,b_1]=[0{,}5,1].
  • Ponto médio:
    m_2=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
  • Avaliação:
    f(0{,}75)=0{,}75\,e^{0{,}75}-1\approx 0{,}75\cdot 2{,}117000016612675-1\approx 0{,}5877500124595063>0.
    Como f(0{,}75)>0 e f(0{,}5)<0, a raiz está em [0{,}5,0{,}75]. Novo intervalo: [a_2,b_2]=[0{,}5,0{,}75].
  • Cota teórica do erro após 2 iterações:
    |m_2-r|\le \frac{1}{2^{2+1}}=\frac{1}{8}=0{,}125.
  • Erro real:
    |m_2-r|=|0{,}75-0{,}5671432904097838|\approx 0{,}1828567095902162.

Passo 6

Intervalo atual: [a_2,b_2]=[0{,}5,0{,}75].
  • Ponto médio:
    m_3=\frac{0{,}5+0{,}75}{2}=0{,}625.
  • Avaliação:
    f(0{,}625)=0{,}625\,e^{0{,}625}-1\approx 0{,}625\cdot 1{,}8682459576338818-1\approx 0{,}1676537235224251>0.
    (portanto a raiz está em [0{,}5,0{,}625]). Novo intervalo: [a_3,b_3]=[0{,}5,0{,}625].
  • Cota teórica do erro após 3 iterações:
    |m_3-r|\le \frac{1}{2^{3+1}}=\frac{1}{16}=0{,}0625.
  • Erro real:
    |m_3-r|=|0{,}625-0{,}5671432904097838|\approx 0{,}0578567095902162.

Passo 7

Intervalo atual: [a_3,b_3]=[0{,}5,0{,}625].
  • Ponto médio:
    m_4=\frac{0{,}5+0{,}625}{2}=0{,}5625.
  • Avaliação (mostro uma forma de aproximar e^{0{,}5625} pela série de Taylor curta se precisar sem calculadora; aqui uso valor numérico):
    usando expansão ou calculadora,
    f(0{,}5625)=0{,}5625\,e^{0{,}5625}-1\approx 0{,}5625\cdot 1{,}755049027983226 -1\approx -0{,}0127849378917613.
    Como f(0{,}5625)<0 e f(0{,}625)>0, a raiz está em [0{,}5625,0{,}625]. Novo intervalo (após a quarta escolha) seria [a_4,b_4]=[0{,}5625,0{,}625].
  • Cota teórica do erro após 4 iterações:
    |m_4-r|\le \frac{1}{2^{4+1}}=\frac{1}{32}=0{,}03125.
  • Erro real:
    |m_4-r|=|0{,}5625-0{,}5671432904097838|\approx 0{,}0046432904097838.

Resposta

Iteração 1: m_1=0{,}5, erro real \approx 0{,}0671432904097838, cota teórica 0{,}25
Iteração 2: m_2=0{,}75, erro real \approx 0{,}1828567095902162, cota teórica 0{,}125
Iteração 3: m_3=0{,}625, erro real \approx 0{,}0578567095902162, cota teórica 0{,}0625
Iteração 4: m_4=0{,}5625, erro real \approx 0{,}0046432904097838, cota teórica 0{,}03125

Exercícios relacionados