Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
Passo 1
O enunciado pede: fazer quatro iterações do método da bisseção para encontrar uma raiz da equação
e “calcular o erro a cada iteração”. As informações dadas são apenas a equação; é preciso escolher um intervalo inicial que contenha uma raiz e aplicar o método da bisseção quatro vezes, reportando o erro de cada iteração.
Para manipular convenientemente, vamos definir a função
pois as raízes de
são as soluções da equação dada. O objetivo explícito: obter quatro aproximações sucessivas (cada uma é o ponto médio do intervalo corrente) e informar o erro em cada etapa.
Passo 2
Escolher um intervalo inicial que contenha a raiz. Primeiro calculemos sinais em pontos fáceis:
Como
e
e
é contínua (produto de funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
. Então vamos usar o intervalo inicial
.
Passo 3
Explicando o método da bisseção (passo-a-passo e erro teórico):
- Em cada iteração toma-se o ponto médio do intervalo atual. Se chamarmos o intervalo atual de
, o ponto médio é - Calcula-se
. Se a raiz é . Se tem o mesmo sinal de , a raíz está em ; se tem o mesmo sinal de , a raíz está em . Assim reduzimos o intervalo pela metade em cada iteração. - Erro teórico (cota do erro): se
é o comprimento inicial do intervalo, depois de iterações o comprimento do intervalo é . A aproximação (o ponto médio da iteração ) fica no centro do intervalo, logo a máxima distância entre e a raiz real satisfaz Neste problema , então a cota teórica do erro após iterações é
Observação: para calcular o “erro real” em cada iteração é preciso conhecer (ou estimar) a raiz exata; a raiz exata da equação
é
onde
é a função de Lambert, cujo valor numérico é
Vou usar esse valor apenas para calcular o erro real numérico (na prova, se não conhecer
, basta usar a cota teórica acima).
Passo 4
Intervalo inicial:
.
-
Ponto médio:
-
Avaliação da função (usar calculadora ou tabelas para
): Comoe , a raiz está em . Novo intervalo: . -
Cota teórica do erro após 1 iteração:
-
Erro real (usando
):
Passo 5
Intervalo atual:
.
-
Ponto médio:
-
Avaliação:Como
e , a raiz está em . Novo intervalo: . -
Cota teórica do erro após 2 iterações:
-
Erro real:
Passo 6
Intervalo atual:
.
-
Ponto médio:
-
Avaliação:(portanto a raiz está em
). Novo intervalo: . -
Cota teórica do erro após 3 iterações:
-
Erro real:
Passo 7
Intervalo atual:
.
-
Ponto médio:
-
Avaliação (mostro uma forma de aproximar
pela série de Taylor curta se precisar sem calculadora; aqui uso valor numérico):
usando expansão ou calculadora,Comoe , a raiz está em . Novo intervalo (após a quarta escolha) seria . -
Cota teórica do erro após 4 iterações:
-
Erro real:
Resposta
Iteração 1:
, erro real
, cota teórica
Iteração 2: , erro real
, cota teórica
Iteração 3: , erro real
, cota teórica
Iteração 4: , erro real
, cota teórica
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4: