Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
Passo 1
O enunciado pede: fazer quatro iterações do método da bisseção para encontrar uma raiz da equação
e calcular o erro em cada iteração.
Informações dadas e o que vamos usar:
- Vamos trabalhar com a função definida por
- Precisamos escolher um intervalo inicial
tal que (ou seja, um intervalo que contenha uma raiz). - O objetivo é realizar 4 iterações da bisseção, em cada iteração calcular:
- a aproximação
(o ponto médio do intervalo atual); - o valor de
para decidir o subintervalo onde a raiz está; - o erro (vamos usar como medida do erro a metade do comprimento do intervalo atual, isto é,
). Também reportarei a variação entre aproximações consecutivas como erro aproximado prático.
- a aproximação
- Não há imagens nem tabelas no enunciado.
Passo 2
Escolher um intervalo inicial com troca de sinal. Calculo
e
para verificar um intervalo:
Como
, o intervalo
contém uma raiz. Vamos aplicar a bisseção em
.
Breve lembrete do método da bisseção (passo-a-passo prático):
- Em cada iteração, calcular
. - Avaliar
. - Se
então a raiz está em (colocar ). - Se
então a raiz está em (colocar ). - A aproximação da raiz é
. O erro máximo garantido (incerteza) após a iteração é onde é o intervalo atual (após atualizar).]
Passo 3
Intervalo inicial:
.
Calcular o ponto médio:
Avaliar
:
Como
e
, tem-se
. Portanto a raiz está no subintervalo
. Atualizo:
Erro (meça que usamos): metade do comprimento do intervalo atual:
Aproximação da iteração 1:
. (Não há
porque
não foi definida como aproximação anterior.)
Passo 4
Intervalo atual:
.
Ponto médio:
Avaliar
:
Como
e
, a raiz está em
. Atualizo:
Erro (metade do comprimento do intervalo atual):
Aproximação da iteração 2:
.
Variação entre aproximações: .
Variação entre aproximações:
Passo 5
Intervalo atual:
.
Ponto médio:
Avaliar
. Para calcular
podemos usar a identidade
com
,
, e valores já conhecidos aproximados:
Logo
Como
e
, a raiz está em
. Atualizo:
Erro:
Aproximação da iteração 3:
.
Variação entre aproximações: .
Variação entre aproximações:
Passo 6
Intervalo atual:
.
Ponto médio:
Avaliar
. Usando novamente combinação de valores próximos:
portanto
Como
e
, a raiz está em
. Atualizo:
Erro:
Aproximação da iteração 4:
.
Variação entre aproximações: .
Variação entre aproximações:
Resposta
Iteração 1:
, erro (metade do intervalo)
Iteração 2: , erro
(variação
)
Iteração 3: , erro
(variação
)
Iteração 4: , erro
(variação
)
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4: