Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
\cos \mathrm{x}=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}

Passo 1

O enunciado pede: fazer quatro iterações do método da bisseção para encontrar uma raiz da equação
\cos x = e^{-x},
e calcular o erro em cada iteração.
Informações dadas e o que vamos usar:
  • Vamos trabalhar com a função definida por
f(x)=\cos x - e^{-x}.
  • Precisamos escolher um intervalo inicial [a,b] tal que f(a)f(b)<0 (ou seja, um intervalo que contenha uma raiz).
  • O objetivo é realizar 4 iterações da bisseção, em cada iteração calcular:
    • a aproximação x_k (o ponto médio do intervalo atual);
    • o valor de f(x_k) para decidir o subintervalo onde a raiz está;
    • o erro (vamos usar como medida do erro a metade do comprimento do intervalo atual, isto é, E_k=\dfrac{b_k-a_k}{2}). Também reportarei a variação entre aproximações consecutivas |x_k-x_{k-1}| como erro aproximado prático.
  • Não há imagens nem tabelas no enunciado.

Passo 2

Escolher um intervalo inicial com troca de sinal. Calculo f(1) e f(2) para verificar um intervalo:
\begin{aligned} f(1)&=\cos 1 - e^{-1}\approx 0{,}5403023059 - 0{,}3678794412 = 0{,}1724228647>0,\\[4pt] f(2)&=\cos 2 - e^{-2}\approx -0{,}4161468365 - 0{,}1353352832 = -0{,}5514821197<0. \end{aligned}
Como f(1)f(2)<0, o intervalo [1,2] contém uma raiz. Vamos aplicar a bisseção em [a_0,b_0]=[1,2].
Breve lembrete do método da bisseção (passo-a-passo prático):
  • Em cada iteração, calcular c=(a+b)/2.
  • Avaliar f\text{(c)}.
  • Se f(a)f\text{(c)}<0 então a raiz está em [a,c] (colocar b\leftarrow c).
  • Se f\text{(c)}f(b)<0 então a raiz está em [c,b] (colocar a\leftarrow c).
  • A aproximação da raiz é x_k=c. O erro máximo garantido (incerteza) após a iteração é E_k=(b-a)/2 onde [a,b] é o intervalo atual (após atualizar).]

Passo 3

Intervalo inicial: [a_0,b_0]=[1,2].
Calcular o ponto médio:
c_1=\frac{1+2}{2}=1{,}5.
Avaliar f(c_1):
\begin{aligned} \cos(1{,}5)&\approx 0{,}0707372017,\\\ e^{-1{,}5}&\approx 0{,}2231301601,\\\ f(1{,}5)&=\cos(1{,}5)-e^{-1{,}5}\approx 0{,}0707372017-0{,}2231301601=-0{,}1523929584. \end{aligned}
Como f(1)=+0{,}1724 e f(1{,}5)=-0{,}1524, tem-se f(1)f(1{,}5)<0. Portanto a raiz está no subintervalo [1,1{,}5]. Atualizo:
[a_1,b_1]=[1,1{,}5].
Erro (meça que usamos): metade do comprimento do intervalo atual:
E_1=\frac{b_1-a_1}{2}=\frac{1{,}5-1}{2}=0{,}25.
Aproximação da iteração 1: x_1=1{,}5. (Não há |x_1-x_0| porque x_0 não foi definida como aproximação anterior.)

Passo 4

Intervalo atual: [a_1,b_1]=[1,1{,}5].
Ponto médio:
c_2=\frac{1+1{,}5}{2}=1{,}25.
Avaliar f(c_2):
\begin{aligned} \cos(1{,}25)&\approx 0{,}3153223624,\\\ e^{-1{,}25}&\approx 0{,}2865047969,\\\ f(1{,}25)&\approx 0{,}3153223624-0{,}2865047969=0{,}0288175655>0. \end{aligned}
Como f(1{,}25)>0 e f(1{,}5)<0, a raiz está em [1{,}25,1{,}5]. Atualizo:
[a_2,b_2]=[1{,}25,1{,}5].
Erro (metade do comprimento do intervalo atual):
E_2=\frac{b_2-a_2}{2}=\frac{1{,}5-1{,}25}{2}=0{,}125.
Aproximação da iteração 2: x_2=1{,}25.
Variação entre aproximações: |x_2-x_1|=|1{,}25-1{,}5|=0{,}25.

Passo 5

Intervalo atual: [a_2,b_2]=[1{,}25,1{,}5].
Ponto médio:
c_3=\frac{1{,}25+1{,}5}{2}=1{,}375.
Avaliar f(c_3). Para calcular \cos(1{,}375) podemos usar a identidade \cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v com u=1{,}25, v=0{,}125, e valores já conhecidos aproximados:
\cos(1{,}375)\approx 0{,}194407\quad\text{e}\quad e^{-1{,}375}\approx 0{,}252549.
Logo
f(1{,}375)=\cos(1{,}375)-e^{-1{,}375}\approx 0{,}194407-0{,}252549=-0{,}058142<0.
Como f(1{,}25)>0 e f(1{,}375)<0, a raiz está em [1{,}25,1{,}375]. Atualizo:
[a_3,b_3]=[1{,}25,1{,}375].
Erro:
E_3=\frac{b_3-a_3}{2}=\frac{1{,}375-1{,}25}{2}=0{,}0625.
Aproximação da iteração 3: x_3=1{,}375.
Variação entre aproximações: |x_3-x_2|=|1{,}375-1{,}25|=0{,}125.

Passo 6

Intervalo atual: [a_3,b_3]=[1{,}25,1{,}375].
Ponto médio:
c_4=\frac{1{,}25+1{,}375}{2}=1{,}3125.
Avaliar f(c_4). Usando novamente combinação de valores próximos:
\cos(1{,}3125)\approx 0{,}2550\quad\text{(aprox.)},\qquad e^{-1{,}3125}\approx 0{,}268512,
portanto
f(1{,}3125)\approx 0{,}2550-0{,}268512\approx -0{,}0135<0.
Como f(1{,}25)>0 e f(1{,}3125)<0, a raiz está em [1{,}25,1{,}3125]. Atualizo:
[a_4,b_4]=[1{,}25,1{,}3125].
Erro:
E_4=\frac{b_4-a_4}{2}=\frac{1{,}3125-1{,}25}{2}=0{,}03125.
Aproximação da iteração 4: x_4=1{,}3125.
Variação entre aproximações: |x_4-x_3|=|1{,}3125-1{,}375|=0{,}0625.

Resposta

Iteração 1: x_1=1{,}5, erro (metade do intervalo) E_1=0{,}25
Iteração 2: x_2=1{,}25, erro E_2=0{,}125 (variação |x_2-x_1|=0{,}25)
Iteração 3: x_3=1{,}375, erro E_3=0{,}0625 (variação |x_3-x_2|=0{,}125)
Iteração 4: x_4=1{,}3125, erro E_4=0{,}03125 (variação |x_4-x_3|=0{,}0625)

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