Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
x=\ln (x)+2

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o método da bisseção por quatro iterações para determinar uma raiz da equação
x=\ln(x)+2
e “calcular o erro a cada iteração”. Informação importante dada ou inferida:
  • A equação pode ser reescrita como a função de uma variável cuja raiz procuramos:
f(x)=x-\ln(x)-2.
  • Domínio da função: x>0 (porque \ln(x) só está definido para x>0).
  • Objetivo explícito: realizar quatro iterações do método da bisseção e, a cada iteração, apresentar um valor aproximado da raiz e um cálculo do erro associado.

Passo 2

Breve aula sobre o método da bisseção (passo-a-passo didático):
  • O método da bisseção exige um intervalo inicial [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0. Isso garante, pela continuidade de f, que existe pelo menos uma raiz em [a,b].
  • A cada iteração calcula-se o ponto médio
x_{\text{m}}=\frac{a+b}{2}.
  • Avalia-se f(x_{\text{m}}). Se f(x_{\text{m}})=0 já encontrou a raiz; se não, usa-se o sinal de f(x_{\text{m}}) para escolher o novo intervalo: se f(a)\cdot f(x_{\text{m}})<0 a raiz está em [a,x_{\text{m}}], senão está em [x_{\text{m}},b].
  • O erro garantido (limite superior para o erro absoluto) ao usar x_{\text{m}} como aproximação, depois de atualizar o intervalo para [a,b], é no máximo metade do comprimento do intervalo atual:
\text{erro} \le \frac{b-a}{2}.
  • Observação prática: como estamos pedindo quatro iterações, em cada iteração vou apresentar (i) a aproximação x_k (o ponto médio), (ii) o valor f(x_k) para decidir o próximo intervalo, e (iii) o erro garantido após essa iteração, calculado como \dfrac{b-a}{2} onde [a,b] é o novo intervalo que contém a raiz.

Passo 3

Escolher um intervalo inicial [a,b] com mudança de sinal:
  • Calcular alguns valores simples (memorizados ou fáceis de lembrar):
f(3)=3-\ln(3)-2=1-\ln(3).
Usando \ln(3)\approx 1,098612289 obtemos
f(3)\approx 1-1,098612289=-0,098612289<0.
f(4)=4-\ln(4)-2=2-\ln(4).
Usando \ln(4)=2\ln(2)\approx 2\cdot 0,693147180=1,386294361 obtemos
f(4)\approx 2-1,386294361=0,613705639>0.
Como f(3)\cdot f(4)<0, o intervalo [3,4] contém pelo menos uma raiz. Vamos usar [a_0,b_0]=[3,4] como intervalo inicial.

Passo 4

Iteração 1:
  • Ponto médio:
x_1=\frac{3+4}{2}=3,5.
  • Avaliar f(x_1):
f(3,5)=3,5-\ln(3,5)-2=1,5-\ln(3,5).
Usando \ln(3,5)\approx 1,252762968 obtemos
f(3,5)\approx 1,5-1,252762968=0,247237032>0.
  • Como f(3) < 0 e f(3,5)>0, a raiz está no subintervalo [3,3,5]. Atualiza-se:
[a_1,b_1]=[3,3,5].
  • Erro garantido após essa iteração (metade do comprimento do novo intervalo):
\text{erro}_1 \le \frac{3,5-3}{2}=\frac{0,5}{2}=0,25.
Resumo da iteração 1: aproximação x_1=3,5, f(x_1)\approx 0,247237032, novo intervalo [3,3,5], erro \le 0,25.

Passo 5

Iteração 2:
  • Ponto médio do novo intervalo:
x_2=\frac{3+3,5}{2}=3,25.
  • Avaliar f(x_2):
f(3,25)=3,25-\ln(3,25)-2=1,25-\ln(3,25).
Usando \ln(3,25)\approx 1,178654997 obtemos
f(3,25)\approx 1,25-1,178654997=0,071345003>0.
  • Como f(3)<0 e f(3,25)>0, a raiz está em [3,3,25]. Atualiza-se:
[a_2,b_2]=[3,3,25].
  • Erro garantido após essa iteração:
\text{erro}_2 \le \frac{3,25-3}{2}=\frac{0,25}{2}=0,125.
Resumo da iteração 2: aproximação x_2=3,25, f(x_2)\approx 0,071345003, novo intervalo [3,3,25], erro \le 0,125.

Passo 6

Iteração 3:
  • Ponto médio:
x_3=\frac{3+3,25}{2}=3,125.
  • Avaliar f(x_3):
f(3,125)=3,125-\ln(3,125)-2=1,125-\ln(3,125).
Observação útil (maneira exata de obter \ln(3,125) sem calculadora): 3,125=\dfrac{25}{8}= \dfrac{5^2}{2^3}, então
\ln(3,125)=\ln\!\left(\frac{5^2}{2^3}\right)=2\ln(5)-3\ln(2).
Usando \ln(5)\approx 1,609437912 e \ln(2)\approx 0,693147180 obtemos
\ln(3,125)\approx 2\cdot 1,609437912-3\cdot 0,693147180=3,218875824-2,079441540=1,139434284.
(Arredondei para os dígitos mostrados.) Assim
f(3,125)\approx 1,125-1,139434284=-0,014434284<0.
  • Como f(3,125)<0 e f(3,25)>0, a raiz está em [3,125,3,25]. Atualiza-se:
[a_3,b_3]=[3,125,3,25].
  • Erro garantido após essa iteração:
\text{erro}_3 \le \frac{3,25-3,125}{2}=\frac{0,125}{2}=0,0625.
Resumo da iteração 3: aproximação x_3=3,125, f(x_3)\approx -0,014434284, novo intervalo [3,125,3,25], erro \le 0,0625.

Passo 7

Iteração 4:
  • Ponto médio:
x_4=\frac{3,125+3,25}{2}=3,1875.
  • Avaliar f(x_4). Para \ln(3,1875) podemos usar uma expansão logarítmica curta: 3,1875=3,125\cdot(1+0,02) porque 3,1875/3,125=1,02. Então
\ln(3,1875)=\ln(3,125)+\ln(1,02).
Usando \ln(3,125)\approx 1,139434284 (obtido no passo anterior) e a série aproximada \ln(1+u)\approx u-\tfrac{u^2}{2}+\tfrac{u^3}{3} para u=0,02, tem-se
\ln(1,02)\approx 0,02-\tfrac{0,02^2}{2}+ \tfrac{0,02^3}{3}\approx 0,02-0,0002+0,000002667\approx 0,019802667.
Assim
\ln(3,1875)\approx 1,139434284+0,019802667=1,159236951.
  • Então
f(3,1875)=3,1875-\ln(3,1875)-2=1,1875-\ln(3,1875)\approx 1,1875-1,159236951=0,028263049>0.
  • Como f(3,125)<0 e f(3,1875)>0, a raiz está em [3,125,3,1875]. Atualiza-se:
[a_4,b_4]=[3,125,3,1875].
  • Erro garantido após essa iteração:
\text{erro}_4 \le \frac{3,1875-3,125}{2}=\frac{0,0625}{2}=0,03125.
Resumo da iteração 4: aproximação x_4=3,1875, f(x_4)\approx 0,028263049, novo intervalo [3,125,3,1875], erro \le 0,03125.

Resposta

Aproximação após 4 iterações: x\approx 3,1875
Erro garantido (limite) após 4 iterações: \le 0,03125

Exercícios relacionados