Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o método da bisseção por quatro iterações para determinar uma raiz da equação
e “calcular o erro a cada iteração”. Informação importante dada ou inferida:
- A equação pode ser reescrita como a função de uma variável cuja raiz procuramos:
- Domínio da função:
(porque só está definido para ). - Objetivo explícito: realizar quatro iterações do método da bisseção e, a cada iteração, apresentar um valor aproximado da raiz e um cálculo do erro associado.
Passo 2
Breve aula sobre o método da bisseção (passo-a-passo didático):
- O método da bisseção exige um intervalo inicial
tal que . Isso garante, pela continuidade de , que existe pelo menos uma raiz em . - A cada iteração calcula-se o ponto médio
- Avalia-se
. Se já encontrou a raiz; se não, usa-se o sinal de para escolher o novo intervalo: se a raiz está em , senão está em . - O erro garantido (limite superior para o erro absoluto) ao usar
como aproximação, depois de atualizar o intervalo para , é no máximo metade do comprimento do intervalo atual:
- Observação prática: como estamos pedindo quatro iterações, em cada iteração vou apresentar (i) a aproximação
(o ponto médio), (ii) o valor para decidir o próximo intervalo, e (iii) o erro garantido após essa iteração, calculado como onde é o novo intervalo que contém a raiz.
Passo 3
Escolher um intervalo inicial
com mudança de sinal:
- Calcular alguns valores simples (memorizados ou fáceis de lembrar):
Usando
obtemos
Usando
obtemos
Como
, o intervalo
contém pelo menos uma raiz. Vamos usar
como intervalo inicial.
Passo 4
Iteração 1:
- Ponto médio:
- Avaliar
:
Usando
obtemos
- Como
e , a raiz está no subintervalo . Atualiza-se:
- Erro garantido após essa iteração (metade do comprimento do novo intervalo):
Resumo da iteração 1: aproximação
,
, novo intervalo
, erro
.
Passo 5
Iteração 2:
- Ponto médio do novo intervalo:
- Avaliar
:
Usando
obtemos
- Como
e , a raiz está em . Atualiza-se:
- Erro garantido após essa iteração:
Resumo da iteração 2: aproximação
,
, novo intervalo
, erro
.
Passo 6
Iteração 3:
- Ponto médio:
- Avaliar
:
Observação útil (maneira exata de obter
sem calculadora):
, então
Usando
e
obtemos
(Arredondei para os dígitos mostrados.) Assim
- Como
e , a raiz está em . Atualiza-se:
- Erro garantido após essa iteração:
Resumo da iteração 3: aproximação
,
, novo intervalo
, erro
.
Passo 7
Iteração 4:
- Ponto médio:
- Avaliar
. Para podemos usar uma expansão logarítmica curta: porque . Então
Usando
(obtido no passo anterior) e a série aproximada
para
, tem-se
Assim
- Então
- Como
e , a raiz está em . Atualiza-se:
- Erro garantido após essa iteração:
Resumo da iteração 4: aproximação
,
, novo intervalo
, erro
.
Resposta
Aproximação após 4 iterações:
Erro garantido (limite) após 4 iterações:
Erro garantido (limite) após 4 iterações: