Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
\operatorname{sen} x=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede que se use o método da bisseção para encontrar uma raiz da equação
\sin x = e^{x}
fazendo quatro (4) iterações e calculando o erro a cada iteração.
Informações dadas/necessárias: a função a analisar é
f(x)=\sin x - e^{x},
precisa-se escolher um intervalo inicial [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos (para aplicar a bisseção). Em seguida, executar 4 iterações do método, reportando em cada iteração o ponto médio (aproximação da raiz) e o erro associado.

Passo 2

Breve aula sobre o método da bisseção (passo a passo e fórmula do erro):
  • Condição para aplicar: escolher [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0,ou seja, há mudança de sinal e portanto, por Bolzano, existe pelo menos uma raiz no intervalo.
  • Em cada iteração calcula-se o ponto médio m=\frac{a+b}{2}.Avalia-se f(m). Se f(m)=0 a raiz foi encontrada; se f(m) tem o mesmo sinal que f(a) substitui-se a\leftarrow m; caso contrário substitui-se b\leftarrow m. Assim o intervalo que contém a raiz é sempre dividido pela metade.
  • Erro (cota absoluta) após n iterações: se o intervalo inicial tem comprimento L=b-a, então a amplitude do intervalo após n iterações é L/2^{n} e o erro máximo (meia amplitude) na aproximação por m_n satisfaz E_n \le \frac{b-a}{2^{n}}.Aqui vou usar a cota E_n=\dfrac{b-a}{2^{n}} como estimativa do erro absoluto máximo da aproximação após n iterações. Todas as avaliações numéricas abaixo são aproximações decimais.

Passo 3

Escolha do intervalo inicial [a,b]. Avaliando f em alguns pontos inteiros negativos (porque e^{x} tende a zero para x grande negativo e \sin x oscila entre -1 e 1):
  • Calculei f(-4)=\sin(-4)-e^{-4}.Usando \sin(-4)\approx 0,7568024953 e e^{-4}\approx 0,0183156389 obtém-se f(-4)\approx 0,7568024953-0,0183156389=0,7384868564>0.
  • Calculei f(-3)=\sin(-3)-e^{-3}.Usando \sin(-3)\approx -0,1411200081 e e^{-3}\approx 0,0497870684 obtém-se f(-3)\approx -0,1411200081-0,0497870684=-0,1909070765<0.
Como f(-4)>0 e f(-3)<0, há mudança de sinal em [-4,-3]. Vou usar este intervalo inicial:
a_0=-4,\qquad b_0=-3,
com comprimento inicial L=b_0-a_0=1. A cota de erro após n iterações será E_n=\dfrac{1}{2^{n}}.

Passo 4

Iteração 1:
  • Ponto médio m_1=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{-4+(-3)}{2}=-3,5.
  • Avaliação de f em m_1: f(-3,5)=\sin(-3,5)-e^{-3,5}.Usando \sin(-3,5)\approx 0,3507832277 e e^{-3,5}\approx 0,0301973834, obteve-se f(-3,5)\approx 0,3507832277-0,0301973834=0,3205858443>0.
  • Como f(-3,5)>0 e f(-3)<0, a raiz está no subintervalo [-3,5,-3]. Ou seja, atualizo a_1=-3,5,\qquad b_1=-3.
  • Erro (cota) após 1 iteração: E_1=\frac{b_0-a_0}{2^{1}}=\frac{1}{2}=0,5.
Observação didática rápida: para calcular \sin quando o argumento está próximo de múltiplos de \pi (como em 3,125 ou 3,1875 que virão), é prático escrever x=\pi\pm\delta e usar \sin x=\pm\sin\delta e então aproximar \sin\delta\approx \delta-\delta^{3}/6 se \delta for pequeno. Para e^{x} com x negativo usei fatorizações do tipo e^{-(3+\theta)}=e^{-3}e^{-\theta} para obter valores rapidamente.

Passo 5

Iteração 2:
  • Intervalo atual [a_1,b_1]=[-3,5,-3].
  • Ponto médio m_2=\frac{-3,5+(-3)}{2}=-3,25.
  • Avaliação f(-3,25)=\sin(-3,25)-e^{-3,25}.Notei que 3,25=\pi+0,10840735, então \sin(3,25)=-\sin(0,10840735) e \sin(-3,25)=\sin(0,10840735). Usando \sin(-3,25)\approx 0,1081989 e e^{-3,25}\approx 0,0387742078 obtenho f(-3,25)\approx 0,1081989-0,0387742078=0,0694246922>0.
  • Como f(-3,25)>0 e f(-3)<0, a raiz está em [-3,25,-3]. Atualizo a_2=-3,25,\qquad b_2=-3.
  • Erro (cota) após 2 iterações: E_2=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}=0,25.

Passo 6

Iteração 3:
  • Intervalo atual [a_2,b_2]=[-3,25,-3].
  • Ponto médio m_3=\frac{-3,25+(-3)}{2}=-3,125.
  • Avaliação f(-3,125)=\sin(-3,125)-e^{-3,125}.Aqui 3,125=\pi-0,0165926536, logo \sin(3,125)=\sin(0,0165926536)\approx 0,0165919 e \sin(-3,125)=-0,0165919. Além disso e^{-3,125}=e^{-3}e^{-0,125}\approx 0,0439396294. Assim f(-3,125)\approx -0,0165919-0,0439396294=-0,0605315294<0.
  • Como f(-3,125)<0 e f(-3,25)>0, a raiz está em [-3,25,-3,125]. Atualizo a_3=-3,25,\qquad b_3=-3,125.
  • Erro (cota) após 3 iterações: E_3=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}=0,125.

Passo 7

Iteração 4:
  • Intervalo atual [a_3,b_3]=[-3,25,-3,125].
  • Ponto médio m_4=\frac{-3,25+(-3,125)}{2}=-3,1875.
  • Avaliação f(-3,1875)=\sin(-3,1875)-e^{-3,1875}.Observando que 3,1875=\pi+0,0459073464, tem-se \sin(3,1875)=-\sin(0,0459073464) e portanto \sin(-3,1875)=\sin(0,0459073464). Aproximações usadas: \sin(-3,1875)\approx 0,04589123 (usando expansão para pequeno ângulo) e e^{-3,1875}\approx 0,041293 (usando e^{-3}e^{-0,1875}). Assim f(-3,1875)\approx 0,04589123-0,041293\approx 0,00459823>0.
  • Como f(-3,1875)>0 e f(-3,125)<0, a raiz está em [-3,1875,-3,125]. Atualizo a_4=-3,1875,\qquad b_4=-3,125.
  • Erro (cota) após 4 iterações: E_4=\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}=0,0625.

Resposta

Iteração 1: x_1=-3,5,\quad f(x_1)\approx 0,3205858443,\quad E_1=0,5
Iteração 2: x_2=-3,25,\quad f(x_2)\approx 0,0694246922,\quad E_2=0,25
Iteração 3: x_3=-3,125,\quad f(x_3)\approx -0,0605315294,\quad E_3=0,125
Iteração 4: x_4=-3,1875,\quad f(x_4)\approx 0,0045982306,\quad E_4=0,0625

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