Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
Passo 1
O enunciado pede que se use o método da bisseção para encontrar uma raiz da equação
fazendo quatro (4) iterações e calculando o erro a cada iteração.
Informações dadas/necessárias: a função a analisar é
Informações dadas/necessárias: a função a analisar é
precisa-se escolher um intervalo inicial
tal que
e
tenham sinais opostos (para aplicar a bisseção). Em seguida, executar 4 iterações do método, reportando em cada iteração o ponto médio (aproximação da raiz) e o erro associado.
Passo 2
Breve aula sobre o método da bisseção (passo a passo e fórmula do erro):
- Condição para aplicar: escolher
com ou seja, há mudança de sinal e portanto, por Bolzano, existe pelo menos uma raiz no intervalo. - Em cada iteração calcula-se o ponto médio
Avalia-se . Se a raiz foi encontrada; se tem o mesmo sinal que substitui-se ; caso contrário substitui-se . Assim o intervalo que contém a raiz é sempre dividido pela metade. - Erro (cota absoluta) após
iterações: se o intervalo inicial tem comprimento , então a amplitude do intervalo após iterações é e o erro máximo (meia amplitude) na aproximação por satisfaz Aqui vou usar a cota como estimativa do erro absoluto máximo da aproximação após iterações. Todas as avaliações numéricas abaixo são aproximações decimais.
Passo 3
Escolha do intervalo inicial
. Avaliando
em alguns pontos inteiros negativos (porque
tende a zero para
grande negativo e
oscila entre
e
):
- Calculei
Usando e obtém-se - Calculei
Usando e obtém-se
Como
e
, há mudança de sinal em
. Vou usar este intervalo inicial:
com comprimento inicial
. A cota de erro após
iterações será
.
Passo 4
Iteração 1:
- Ponto médio
- Avaliação de
em : Usando e , obteve-se - Como
e , a raiz está no subintervalo . Ou seja, atualizo - Erro (cota) após 1 iteração:
Observação didática rápida: para calcular
quando o argumento está próximo de múltiplos de
(como em
ou
que virão), é prático escrever
e usar
e então aproximar
se
for pequeno. Para
com
negativo usei fatorizações do tipo
para obter valores rapidamente.
Passo 5
Iteração 2:
- Intervalo atual
. - Ponto médio
- Avaliação
Notei que , então e . Usando e obtenho - Como
e , a raiz está em . Atualizo - Erro (cota) após 2 iterações:
Passo 6
Iteração 3:
- Intervalo atual
. - Ponto médio
- Avaliação
Aqui , logo e . Além disso . Assim - Como
e , a raiz está em . Atualizo - Erro (cota) após 3 iterações:
Passo 7
Iteração 4:
- Intervalo atual
. - Ponto médio
- Avaliação
Observando que , tem-se e portanto . Aproximações usadas: (usando expansão para pequeno ângulo) e (usando ). Assim - Como
e , a raiz está em . Atualizo - Erro (cota) após 4 iterações:
Resposta
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4: