Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
\operatorname{tanh} \left(x^{3}-9\right)=0
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o método da bisseção e fazer quatro iterações para aproximar uma raiz da equação
\operatorname{tanh}\!\bigl(x^{3}-9\bigr)=0.
Informações dadas diretamente pela equação:
A função que vamos usar é f(x)=\operatorname{tanh}\!\bigl(x^{3}-9\bigr).
É pedido fazer exatamente quatro iterações do método da bisseção.
Em cada iteração devo calcular o erro (vou explicar qual erro e como calculá-lo).
Vou usar um intervalo inicial [a_{0},b_{0}] onde a função mude de sinal (isso é requisito para aplicar bisseção). A escolha do intervalo e o teste de mudança de sinal serão feitos no próximo passo.
Passo 2
O que é o método da bisseção (explicação e fórmula do erro):
Definição de f: f(x)=\operatorname{tanh}\!\bigl(x^{3}-9\bigr).
Propriedades úteis de \operatorname{tanh}:
\operatorname{tanh}(z) é contínua e estritamente crescente para todo z\in\mathbb{R}.
\operatorname{tanh}(z)=0 se, e somente se, z=0.
Assim, raízes de f equivalem às soluções de x^{3}-9=0, isto é à raiz exata \,x^{*}=\sqrt[3]{9} (vou usar essa referência mais à frente para calcular erro real). Mas no método numérico não precisamos usar esse valor exato para aplicar a bisseção — apenas é útil depois para avaliar o erro real.
Condições para aplicar bisseção:
Escolher [a_{0},b_{0}] tal que f(a_{0})\cdot f(b_{0})<0 (ou seja, sinais opostos). Pelo Teorema do Valor Intermediário e continuidade, existe pelo menos uma raiz em [a_{0},b_{0}].
Regra do método:
Em cada iteração k calcula-se o ponto médio c_{k}=(a_{k-1}+b_{k-1})/2.
Avalia-se f(c_{k}). Se f(c_{k})=0 acabou; se não, escolhe-se o subintervalo [a_{k},b_{k}] onde a mudança de sinal ocorre (ou seja, o subintervalo onde f tem valores de sinais opostos) e repete-se.
Estimativa de erro garantida: se L_{0}=b_{0}-a_{0} é o comprimento do intervalo inicial, então após n iterações a aproximação c_{n} satisfaz a desigualdade\left|c_{n}-x^{*}\right|\le \frac{L_{0}}{2^{n}}.Aqui \left|c_{n}-x^{*}\right| é o erro real absoluto e a quantidade à direita é um limite superior garantido (erro máximo possível). Vou chamar esse limite de erro-guarda (erro máximo garantido) na sequência.
Observação prática: para argumentos grandes |z| temos \operatorname{tanh}(z)\approx\operatorname{sgn}(z) (isto é, aproxima-se de 1 se z é muito positivo e de -1 se z é muito negativo). Isso facilita avaliar o sinal de f em pontos onde x^{3}-9 tem grande módulo.
Escolha do intervalo inicial:
Testo pontos simples: x=1, x=3.
f(1)=\operatorname{tanh}(1^{3}-9)=\operatorname{tanh}(-8). Como -8 é um número bem negativo, \operatorname{tanh}(-8) é próximo de -1. Numericamente \operatorname{tanh}(-8)\approx -0,999999775. Logo f(1)<0.
f(3)=\operatorname{tanh}(3^{3}-9)=\operatorname{tanh}(27-9)=\operatorname{tanh}(18). Como 18 é muito positivo, \operatorname{tanh}(18)\approx 1. Logo f(3)>0.
Portanto f(1)\cdot f(3)<0 e podemos aplicar biseção em [a_{0},b_{0}]=[1,3].
O comprimento inicial é L_{0}=b_{0}-a_{0}=2. Assim o erro-guarda após n iterações será \dfrac{2}{2^{n}}.
Agora faço as quatro iterações pedidas, mostrando os cálculos, a escolha do subintervalo em cada passo e o erro.
Passo 3
Iteração 1:
Intervalo atual: [a_{0},b_{0}]=[1,3].
Ponto médio:c_{1}=\frac{1+3}{2}=2.
Avalia f(c_{1}):f(2)=\operatorname{tanh}(2^{3}-9)=\operatorname{tanh}(8-9)=\operatorname{tanh}(-1).E numericamente \operatorname{tanh}(-1)=-\operatorname{tanh}(1)\approx -0,761594156. Então f(2)<0.
Decisão do subintervalo: como f(2) e f(3) têm sinais opostos (f(2)<0, f(3)>0), a raiz está no subintervalo [2,3]. Então:a_{1}=2,\qquad b_{1}=3.
Erro-guarda (limite máximo) após 1 iteração:E_{1}=\frac{L_{0}}{2^{1}}=\frac{2}{2}=1.Isso significa que a aproximação c_{1}=2 está, no pior caso, a no máximo 1 unidade da raiz real.
Se quiser o erro real absoluto (comparando com a raiz exata x^{*}=\sqrt[3]{9}): primeiro note que \sqrt[3]{9}\approx 2,080083823. Então\left|c_{1}-x^{*}\right|\approx\bigl|2-2,080083823\bigr|\approx 0,080083823.(este é o erro real; o método não usa esse valor para decidir os passos, mas é útil para medir a qualidade da aproximação).
Passo 4
Iteração 2:
Intervalo atual: [a_{1},b_{1}]=[2,3].
Ponto médio:c_{2}=\frac{2+3}{2}=2,5.
Avalia f(c_{2}):f(2,5)=\operatorname{tanh}(2,5^{3}-9)=\operatorname{tanh}(15,625-9)=\operatorname{tanh}(6,625).Como 6,625 é relativamente grande e positivo, \operatorname{tanh}(6,625) está muito próximo de 1. Usando a aproximação \operatorname{tanh}(x)\approx 1-2e^{-2x} para x positivo grande, obtemos numericamente \operatorname{tanh}(6,625)\approx 0,99999648. Então f(2,5)>0.
Decisão do subintervalo: f(2)<0 e f(2,5)>0, logo a raiz está em [2,2,5]. Então:a_{2}=2,\qquad b_{2}=2,5.
Erro-guarda após 2 iterações:E_{2}=\frac{L_{0}}{2^{2}}=\frac{2}{4}=0,5.
Erro real (comparando com x^{*}\approx 2,080083823):\left|c_{2}-x^{*}\right|=\bigl|2,5-2,080083823\bigr|\approx 0,419916177.Observação: o erro real aumentou em relação a c_{1}; isso é normal porque o método da bisseção garante apenas que o erro esteja abaixo do erro-guarda, não que a sequência dos erros reais seja monotonicamente decrescente.
Passo 5
Iteração 3:
Intervalo atual: [a_{2},b_{2}]=[2,2,5].
Ponto médio:c_{3}=\frac{2+2,5}{2}=2,25.
Avalia f(c_{3}):f(2,25)=\operatorname{tanh}(2,25^{3}-9)=\operatorname{tanh}(11,390625-9)=\operatorname{tanh}(2,390625).Para x=2,390625 podemos calcular \operatorname{tanh}(x) diretamente ou usar \operatorname{tanh}(x)=(e^{2x}-1)/(e^{2x}+1). Num cálculo aproximado, e^{2x}=e^{4,78125}\approx 119,29, então\operatorname{tanh}(2,390625)\approx\frac{119,29-1}{119,29+1}=\frac{118,29}{120,29}\approx 0,98336.Assim f(2,25)>0.
Decisão do subintervalo: f(2)<0, f(2,25)>0, logo a raiz está em [2,2,25]. Então:a_{3}=2,\qquad b_{3}=2,25.
Erro-guarda após 3 iterações:E_{3}=\frac{L_{0}}{2^{3}}=\frac{2}{8}=0,25.
Erro real (comparando com x^{*}):\left|c_{3}-x^{*}\right|=\bigl|2,25-2,080083823\bigr|\approx 0,169916177.
Decisão do subintervalo: como f(2)<0 e f(2,125)>0, a raiz está em [2,2,125]. Os próximos limites seriam a_{4}=2, b_{4}=2,125 (mas como pediram apenas quatro iterações, paramos aqui).
Erro-guarda após 4 iterações:E_{4}=\frac{L_{0}}{2^{4}}=\frac{2}{16}=0,125.
Resumo numérico das quatro aproximações (já calculadas nos passos):
c_{1}=2, erro-guarda E_{1}=1, erro real \approx 0,080083823.
c_{2}=2,5, erro-guarda E_{2}=0,5, erro real \approx 0,419916177.
c_{3}=2,25, erro-guarda E_{3}=0,25, erro real \approx 0,169916177.
c_{4}=2,125, erro-guarda E_{4}=0,125, erro real \approx 0,044916177.
Observações finais (motivação para a prova):
O erro-guarda \dfrac{L_{0}}{2^{n}} é o que normalmente se pede em exercício de biseção: é uma garantia teórica. Note que o erro real pode ser menor (como aconteceu em c_{1} e c_{4}) ou maior que o erro real de passos intermediários (como c_{2} ter sido pior que c_{1}); o que importa é que o erro-guarda decresce geometricamente por fator 1/2 a cada iteração.
Para obter precisão desejada \varepsilon basta tomar n tal que \dfrac{L_{0}}{2^{n}}\le\varepsilon, i.e. n\ge\log_{2}\!\bigl(\dfrac{L_{0}}{\varepsilon}\bigr).
Resposta
Iteração 1: c_{1}=2, erro-guarda E_{1}=1, erro real \approx 0,080083823
Iteração 2: c_{2}=2,5, erro-guarda E_{2}=0,5, erro real \approx 0,419916177
Iteração 3: c_{3}=2,25, erro-guarda E_{3}=0,25, erro real \approx 0,169916177
Iteração 4: c_{4}=2,125, erro-guarda E_{4}=0,125, erro real \approx 0,044916177