Fazer o gráfico da região limitada pelas curvas e calcular sua área.
e
Passo 1
O enunciado pede para fazer o gráfico da região limitada pelas curvas
,
e
e calcular a área dessa região.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Curva 1:
(parábola com eixo paralelo ao eixo , vértice em , abre para a direita). - Curva 2:
, que pode ser reescrita como (reta inclinada de coeficiente angular , vista como função de ). - Curva 3:
(reta horizontal).
A pergunta é: qual é a região limitada por essas três curvas e qual a sua área?
Passo 2
Vamos encontrar as interseções entre cada par de curvas — isso nos diz onde as curvas se cruzam e se realmente formam uma região fechada. Primeiro, interseção entre
e
. Substituímos
da parábola na equação da reta:
Colocando em forma de quadrática:
Para resolver essa quadrática precisamos calcular o discriminante
.
Passo 3
Calculemos o discriminante da quadrática
:
Como
, a equação não tem raízes reais. Portanto, as curvas
e
não se intersectam no plano real: elas nunca se cruzam.
Passo 4
Agora as interseções com
. Substituímos
em cada curva:
- Na reta
(ou ), temos . Então há o ponto . - Na parábola
, com obtemos . Então há o ponto .
Esses dois pontos estão sobre a mesma horizontal
:
pertence à reta e
pertence à parábola. Eu usei explicitamente os valores substituindo
nas equações dadas.
Passo 5
Interpretação geométrica e posição relativa: como vimos, para todo
real vale
A expressão
é positiva para todo
(porque a quadrática tem
e coeficiente líder positivo), logo
Isto significa que, para cada nível
, o ponto da parábola tem coordenada
sempre maior que a coordenada
correspondente na reta: graficamente, a parábola
está sempre à direita da reta
; elas nunca se cruzam. A reta horizontal
corta as duas curvas em
e
, respectivamente.
Passo 6
Conclusão sobre a existência de uma região limitada: para que três curvas limitem uma região fechada e com área finita, deve haver interseções que fechem a fronteira. Aqui só encontramos pontos comuns com
, mas a parábola e a reta não se intersectam em nenhum outro nível de
. Entre a reta e a parábola existe sempre um intervalo horizontal em cada
(de
até
), e esse intervalo existe para todos os
. Assim, se tentarmos interpretar a região “entre” as duas curvas e abaixo (ou acima) de
, ela se estende indefinidamente para baixo (ou para cima) — não há um “fechamento” adicional que limite a região por baixo. Em particular, se considerarmos a região limitada por essas três curvas no sentido de todos os pontos com
e
entre
e
, essa região se estende até
em
e não é fechada.
Passo 7
Para ver que a área seria infinita, podemos tentar escrever a área por integração em
(corte horizontal). A largura horizontal entre as curvas é
A área da região entre as duas curvas desde
até
seria
Se a região que se quer fechar tenta incluir todos os
abaixo até
, precisamos avaliar
Calculemos a primitiva:
Então
O termo explícito para
é finito, enquanto o termo para
contém
que tende a
quando
. Pela subtração, a área tende a
. Portanto a área diverge — é infinita.
Passo 8
Interpretação final e resposta prática: as três curvas dadas não formam uma região fechada e limitada no plano; a “região entre” a reta
e a parábola
cortada por
fica aberta para baixo (estende-se para
) e tem área infinita. Logo não existe área finita a ser calculada.
Resposta
A região não é limitada (a parábola
está sempre à direita da reta
e não há interseção entre elas), portanto não há região fechada pelas três curvas e a área é infinita:
.