Fazer o gráfico da região limitada pelas curvas e calcular sua área.
x=y^{2}, y-x=2 e y=3

Passo 1

O enunciado pede para fazer o gráfico da região limitada pelas curvas x=y^{2}, y-x=2 e y=3 e calcular a área dessa região.
Informações dadas:
  • Curva 1: x=y^{2} (parábola com eixo paralelo ao eixo x, vértice em (0,0), abre para a direita).
  • Curva 2: y-x=2, que pode ser reescrita como x=y-2 (reta inclinada de coeficiente angular 1, vista como função x de y).
  • Curva 3: y=3 (reta horizontal).
    A pergunta é: qual é a região limitada por essas três curvas e qual a sua área?

Passo 2

Vamos encontrar as interseções entre cada par de curvas — isso nos diz onde as curvas se cruzam e se realmente formam uma região fechada. Primeiro, interseção entre x=y^{2} e y-x=2. Substituímos x da parábola na equação da reta:
y^{2}=y-2.
Colocando em forma de quadrática:
y^{2}-y+2=0.
Para resolver essa quadrática precisamos calcular o discriminante \Delta.

Passo 3

Calculemos o discriminante da quadrática y^{2}-y+2=0:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 2 = 1-8=-7.
Como \Delta<0, a equação não tem raízes reais. Portanto, as curvas x=y^{2} e y-x=2 não se intersectam no plano real: elas nunca se cruzam.

Passo 4

Agora as interseções com y=3. Substituímos y=3 em cada curva:
  • Na reta y-x=2 (ou x=y-2), temos x=3-2=1. Então há o ponto (1,3).
  • Na parábola x=y^{2}, com y=3 obtemos x=3^{2}=9. Então há o ponto (9,3).
Esses dois pontos estão sobre a mesma horizontal y=3: (1,3) pertence à reta e (9,3) pertence à parábola. Eu usei explicitamente os valores substituindo y=3 nas equações dadas.

Passo 5

Interpretação geométrica e posição relativa: como vimos, para todo y real vale
y^{2}-(y-2)=y^{2}-y+2.
A expressão y^{2}-y+2 é positiva para todo y (porque a quadrática tem \Delta<0 e coeficiente líder positivo), logo
y^{2} > y-2\quad\text{para todo }y\in\mathbb{R}.
Isto significa que, para cada nível y, o ponto da parábola tem coordenada x sempre maior que a coordenada x correspondente na reta: graficamente, a parábola x=y^{2} está sempre à direita da reta x=y-2; elas nunca se cruzam. A reta horizontal y=3 corta as duas curvas em (1,3) e (9,3), respectivamente.

Passo 6

Conclusão sobre a existência de uma região limitada: para que três curvas limitem uma região fechada e com área finita, deve haver interseções que fechem a fronteira. Aqui só encontramos pontos comuns com y=3, mas a parábola e a reta não se intersectam em nenhum outro nível de y. Entre a reta e a parábola existe sempre um intervalo horizontal em cada y (de x=y-2 até x=y^{2}), e esse intervalo existe para todos os y. Assim, se tentarmos interpretar a região “entre” as duas curvas e abaixo (ou acima) de y=3, ela se estende indefinidamente para baixo (ou para cima) — não há um “fechamento” adicional que limite a região por baixo. Em particular, se considerarmos a região limitada por essas três curvas no sentido de todos os pontos com y\le 3 e x entre x=y-2 e x=y^{2}, essa região se estende até -\infty em y e não é fechada.

Passo 7

Para ver que a área seria infinita, podemos tentar escrever a área por integração em y (corte horizontal). A largura horizontal entre as curvas é
\text{largura}(y)=x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=y^{2}-(y-2)=y^{2}-y+2.
A área da região entre as duas curvas desde y=a até y=3 seria
A(a)=\int_{a}^{3}\bigl(y^{2}-y+2\bigr)\,dy.
Se a região que se quer fechar tenta incluir todos os y abaixo até -\infty, precisamos avaliar
\lim_{a\to -\infty}A(a)=\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{3}\bigl(y^{2}-y+2\bigr)\,dy.
Calculemos a primitiva:
\int\bigl(y^{2}-y+2\bigr)\,dy=\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{2}}{2}+2y + C.
Então
A(a)=\left[\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{2}}{2}+2y\right]_{y=a}^{y=3}.
O termo explícito para y=3 é finito, enquanto o termo para y=a contém \frac{a^{3}}{3} que tende a -\infty quando a\to -\infty. Pela subtração, a área tende a +\infty. Portanto a área diverge — é infinita.

Passo 8

Interpretação final e resposta prática: as três curvas dadas não formam uma região fechada e limitada no plano; a “região entre” a reta x=y-2 e a parábola x=y^{2} cortada por y=3 fica aberta para baixo (estende-se para y\to -\infty) e tem área infinita. Logo não existe área finita a ser calculada.

Resposta

A região não é limitada (a parábola x=y^{2} está sempre à direita da reta x=y-2 e não há interseção entre elas), portanto não há região fechada pelas três curvas e a área é infinita: +\infty.

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