Faça uma rotação em
de modo que a reta
fique paralela ao (novo) eixo das ordenadas.
Passo 1
O que o enunciado pede: fazer uma rotação do sistema de coordenadas
de modo que a reta
fique paralela ao (novo) eixo das ordenadas.
Informações dadas:
Não foi dada nenhuma outra restrição sobre a rotação (por exemplo sentido ou intervalo do ângulo), então qualquer ângulo que cumpra a condição serve. A resolução começa a partir dessa equação.
Passo 2
Entendendo a reta: vamos achar a inclinação (coeficiente angular) e o ângulo que a reta faz com o eixo
.
A equação
pode ser escrita isolando
:
Isto mostra que o coeficiente angular é
. O ângulo
que a reta faz com o eixo positivo
é dado por
Uma escolha conveniente é
(ou, equivalentemente,
; ambas descrevem a mesma direção de reta, só mudando o sentido). Vou usar
para pensamento direto: a reta está inclinada em
em relação ao eixo
.
Passo 3
Conceito de rotação de eixos (fórmulas) — uma mini-aula suave:
Quando rotacionamos o sistema de eixos por um ângulo (no sentido anti-horário) para obter os novos eixos
, as coordenadas de um ponto fixo se relacionam por
Quando rotacionamos o sistema de eixos por um ângulo
e
O que isso significa, em palavras: o ponto no plano é o mesmo, mas sua representação em coordenadas muda porque mudamos a orientação dos eixos. Essas fórmulas são padrão e vêm de decompor o vetor posição nas novas direções dos eixos.
Passo 4
Substituir as fórmulas de rotação na equação da reta e impor a condição desejada.
Substituindo
e
em
obtemos (usar as fórmulas do passo 3):
Agrupando termos em
e
:
Para que a reta fique paralela ao (novo) eixo das ordenadas (isto é, paralela ao eixo
), a equação da reta, vista nas coordenadas
, deve ser da forma
(uma reta vertical no sistema
). Isso significa que o coeficiente de
na equação deve ser zero. Assim impomos:
Passo 5
Resolver a condição para
.
Da equação
temos
Isto implica
cuja solução principal é
Como rotação de
ou
apenas inverte o sentido dos novos eixos mas mantém a paralelidade procurada, podemos escolher a solução mais simples:
Passo 6
Calcular a equação da reta nas novas coordenadas para verificar e apresentar o resultado final.
Para
temos
e já garantimos que
. Substituindo em
obtemos
ou seja
Isolando
:
Isso mostra que, nas novas coordenadas, a reta é
constante, uma reta vertical paralela ao eixo
, como queríamos.
Resposta
Ângulo de rotação:
(ou
).
Equação da reta nas novas coordenadas: .
Equação da reta nas novas coordenadas: