Faça uma rotação em X Y de modo que a reta \mathrm{r}: \mathrm{x}+\mathrm{y}+3=0 fique paralela ao (novo) eixo das ordenadas.

Passo 1

O que o enunciado pede: fazer uma rotação do sistema de coordenadas X Y de modo que a reta \mathrm{r}:\;x+y+3=0 fique paralela ao (novo) eixo das ordenadas.
Informações dadas:
\text{reta } \mathrm{r}:\;x+y+3=0.
Não foi dada nenhuma outra restrição sobre a rotação (por exemplo sentido ou intervalo do ângulo), então qualquer ângulo que cumpra a condição serve. A resolução começa a partir dessa equação.

Passo 2

Entendendo a reta: vamos achar a inclinação (coeficiente angular) e o ângulo que a reta faz com o eixo x.
A equação \;x+y+3=0\; pode ser escrita isolando y:
y = -x - 3.
Isto mostra que o coeficiente angular é -1. O ângulo \alpha que a reta faz com o eixo positivo x é dado por
\alpha = \arctan(-1).
Uma escolha conveniente é \alpha = -\frac{\pi}{4} (ou, equivalentemente, \alpha = \frac{3\pi}{4}; ambas descrevem a mesma direção de reta, só mudando o sentido). Vou usar \alpha = -\dfrac{\pi}{4} para pensamento direto: a reta está inclinada em -45^\circ em relação ao eixo x.

Passo 3

Conceito de rotação de eixos (fórmulas) — uma mini-aula suave:
Quando rotacionamos o sistema de eixos por um ângulo \theta (no sentido anti-horário) para obter os novos eixos X,Y, as coordenadas de um ponto fixo se relacionam por
x = X\cos\theta - Y\sin\theta
e
y = X\sin\theta + Y\cos\theta.
O que isso significa, em palavras: o ponto no plano é o mesmo, mas sua representação em coordenadas muda porque mudamos a orientação dos eixos. Essas fórmulas são padrão e vêm de decompor o vetor posição nas novas direções dos eixos.

Passo 4

Substituir as fórmulas de rotação na equação da reta e impor a condição desejada.
Substituindo x e y em \;x+y+3=0\; obtemos (usar as fórmulas do passo 3):
(X\cos\theta - Y\sin\theta) + (X\sin\theta + Y\cos\theta) + 3 = 0.
Agrupando termos em X e Y:
X(\cos\theta+\sin\theta) + Y(-\sin\theta+\cos\theta) + 3 = 0.
Para que a reta fique paralela ao (novo) eixo das ordenadas (isto é, paralela ao eixo Y), a equação da reta, vista nas coordenadas (X,Y), deve ser da forma X=\text{constante} (uma reta vertical no sistema X,Y). Isso significa que o coeficiente de Y na equação deve ser zero. Assim impomos:
-\sin\theta+\cos\theta = 0.

Passo 5

Resolver a condição para \theta.
Da equação
-\sin\theta+\cos\theta = 0
temos
\cos\theta = \sin\theta.
Isto implica
\tan\theta = 1,
cuja solução principal é
\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Como rotação de \theta ou \theta+\pi apenas inverte o sentido dos novos eixos mas mantém a paralelidade procurada, podemos escolher a solução mais simples:
\theta = \frac{\pi}{4}\quad(\text{isto é, }45^\circ).é

Passo 6

Calcular a equação da reta nas novas coordenadas para verificar e apresentar o resultado final.
Para \theta=\dfrac{\pi}{4} temos
\cos\theta+\sin\theta=\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},
e já garantimos que -\sin\theta+\cos\theta=0. Substituindo em
X(\cos\theta+\sin\theta) + Y(-\sin\theta+\cos\theta) + 3 = 0
obtemos
X\sqrt{2} + 0\cdot Y + 3 = 0,
ou seja
X\sqrt{2} + 3 = 0.
Isolando X:
X = -\frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Isso mostra que, nas novas coordenadas, a reta é X= constante, uma reta vertical paralela ao eixo Y, como queríamos.

Resposta

Ângulo de rotação: \displaystyle \theta=\frac{\pi}{4} (ou 45^\circ).
Equação da reta nas novas coordenadas: \displaystyle X=-\frac{3\sqrt{2}}{2}.

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