Sejam, em relação a um sistema de coordenadas
(equação geral de uma reta no plano). Obtenha as coordenadas de P e uma equação de
no sistema
obtido por uma rotação de
radianos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Dado o ponto
no sistema de coordenadas . - Dada a reta
de equação no mesmo sistema . - Foi criado um novo sistema de coordenadas
obtido por uma rotação do sistema original em radianos (angulo ). - Pergunta 1: obter as coordenadas de
no sistema . - Pergunta 2: obter uma equação da reta
escrita em coordenadas do sistema .
Essas são as duas saídas que precisamos entregar.
Passo 2
Entendendo a relação entre as coordenadas antigas
e as novas
quando rotacionamos os eixos.
Explicação didática curta (sem pular etapas): manter o ponto fixo no plano e girar os eixos no sentido anti-horário de
é equivalente a “rodar” as coordenadas do ponto na direção oposta (ângulo
). A fórmula padrão (muito usada em provas) para a transformação de coordenadas quando os eixos são rotacionados de
é
Isto significa: dado um vetor posição do ponto, suas componentes na base nova
se combinam com os cosseno e seno de
para dar as componentes na base antiga
. Para obter
a partir de
usamos a matriz de rotação inversa (rotacionar por
):
Dou um exemplo rápido e numérico: se
então
e obtemos
, ou seja nada muda — faz sentido.
Passo 3
Aplicando as fórmulas para o ângulo
.
Calculemos os valores de seno e cosseno para
:
Agora usamos as fórmulas para obter
a partir de
:
Passo 4
Fazendo as contas para as coordenadas do ponto
no sistema
.
Calculando
:
Calculando
:
Portanto a coordenada do ponto
no sistema rotacionado é
Passo 5
Agora vamos obter a equação da reta
no sistema
.
A reta em coordenadas originais é
Substituímos nela as expressões de
e
em função de
e
, usando
com
e
.
Passo 6
Fazendo a substituição e simplificando passo a passo.
Substituindo:
Agrupando coeficientes de
e
:
Agora inserimos os valores numéricos de
e
:
Simplificando cada coeficiente:
Multiplicamos toda a equação por
para eliminar denominadores:
Podemos multiplicar por
para obter coeficientes mais “agradáveis”:
Essa é uma equação da reta
no sistema
. Ambas as formas são equivalentes (só diferem por fator
).