Sejam, em relação a um sistema de coordenadas X Y, \mathrm{P}=(1,2), \mathrm{r}: \mathrm{x}-2 \mathrm{y}-1=0 (equação geral de uma reta no plano). Obtenha as coordenadas de P e uma equação de r no sistema X^{\prime} Y^{\prime} obtido por uma rotação de \pi / 6 radianos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Dado o ponto P=(1,2) no sistema de coordenadas X Y.
  • Dada a reta r de equação x-2y-1=0 no mesmo sistema X Y.
  • Foi criado um novo sistema de coordenadas X^{\prime}Y^{\prime} obtido por uma rotação do sistema original em \pi/6 radianos (angulo \theta=\pi/6).
  • Pergunta 1: obter as coordenadas de P no sistema X^{\prime}Y^{\prime}.
  • Pergunta 2: obter uma equação da reta r escrita em coordenadas (x',y') do sistema X^{\prime}Y^{\prime}.
Essas são as duas saídas que precisamos entregar.

Passo 2

Entendendo a relação entre as coordenadas antigas (x,y) e as novas (x',y') quando rotacionamos os eixos.
Explicação didática curta (sem pular etapas): manter o ponto fixo no plano e girar os eixos no sentido anti-horário de \theta é equivalente a “rodar” as coordenadas do ponto na direção oposta (ângulo -\theta). A fórmula padrão (muito usada em provas) para a transformação de coordenadas quando os eixos são rotacionados de \theta é
x = x'\cos\theta - y'\sin\theta
y = x'\sin\theta + y'\cos\theta
Isto significa: dado um vetor posição do ponto, suas componentes na base nova (x',y') se combinam com os cosseno e seno de \theta para dar as componentes na base antiga (x,y). Para obter (x',y') a partir de (x,y) usamos a matriz de rotação inversa (rotacionar por -\theta):
x' = x\cos\theta + y\sin\theta
y' = -x\sin\theta + y\cos\theta
Dou um exemplo rápido e numérico: se \theta=0 então \cos\theta=1,\sin\theta=0 e obtemos x'=x,\\ y'=y, ou seja nada muda — faz sentido.

Passo 3

Aplicando as fórmulas para o ângulo \theta=\pi/6.
Calculemos os valores de seno e cosseno para \theta=\pi/6:
\cos\theta=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\theta=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.
Agora usamos as fórmulas para obter (x',y') a partir de (x,y)=(1,2):
x' = x\cos\theta + y\sin\theta = 1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\cdot\frac{1}{2},
y' = -x\sin\theta + y\cos\theta = -1\cdot\frac{1}{2} + 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Fazendo as contas para as coordenadas do ponto P no sistema X^{\prime}Y^{\prime}.
Calculando x':
x'=\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{\sqrt{3}+2}{2}.
Calculando y':
y'=-\frac{1}{2} + \sqrt{3} = \frac{-1 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}-1}{2}.
Portanto a coordenada do ponto P no sistema rotacionado é
P'=\left(\frac{\sqrt{3}+2}{2},\\ \frac{2\sqrt{3}-1}{2}\right).

Passo 5

Agora vamos obter a equação da reta r no sistema (x',y').
A reta em coordenadas originais é
x - 2y - 1 = 0.
Substituímos nela as expressões de x e y em função de x' e y', usando
x = x'\cos\theta - y'\sin\theta,
y = x'\sin\theta + y'\cos\theta,
com \cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\theta=\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Fazendo a substituição e simplificando passo a passo.
Substituindo:
\bigl(x'\cos\theta - y'\sin\theta\bigr) - 2\bigl(x'\sin\theta + y'\cos\theta\bigr) - 1 = 0.
Agrupando coeficientes de x' e y':
\bigl(\cos\theta - 2\sin\theta\bigr)x' + \bigl(-\sin\theta - 2\cos\theta\bigr)y' - 1 = 0.
Agora inserimos os valores numéricos de \cos\theta e \sin\theta:
\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\cdot\frac{1}{2}\right)x' + \left(-\frac{1}{2} - 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)y' - 1 = 0.
Simplificando cada coeficiente:
\left(\frac{\sqrt{3}-2}{2}\right)x' + \left(\frac{-1-2\sqrt{3}}{2}\right)y' - 1 = 0.
Multiplicamos toda a equação por 2 para eliminar denominadores:
(\sqrt{3}-2)x' + (-1-2\sqrt{3})y' - 2 = 0.
Podemos multiplicar por -1 para obter coeficientes mais “agradáveis”:
(2-\sqrt{3})x' + (1+2\sqrt{3})y' + 2 = 0.
Essa é uma equação da reta r no sistema X^{\prime}Y^{\prime}. Ambas as formas são equivalentes (só diferem por fator -1).

Resposta

\displaystyle P'=\left(\frac{\sqrt{3}+2}{2},\\ \frac{2\sqrt{3}-1}{2}\right)
\displaystyle (2-\sqrt{3})x' + (1+2\sqrt{3})y' + 2 = 0

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