Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(1,1,2),(-3,-2,-5)\} \mathrm{e} \\\ M=\operatorname{span}\{(-1,-3,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(1, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma \vec{x}=(1,x_{2},x_{3}).
Dados fornecidos:
H=\operatorname{span}\{(1,1,2),(-3,-2,-5)\}
M=\operatorname{span}\{(-1,-3,1)\}
Queremos o valor de x_{3} do vetor \vec{x} que satisfaz ambas as condições: \vec{x}\in H e \vec{x}\in M^{\perp}, e cuja primeira coordenada é 1.

Passo 2

Interpretando a condição \vec{x}\in M^{\perp}: isso significa que \vec{x} é ortogonal ao gerador de M, ou seja, o produto escalar entre \vec{x}=(1,x_{2},x_{3}) e (-1,-3,1) deve ser zero. O produto escalar em \mathbb{R}^{3} é dado por somar os produtos das coordenadas correspondentes. Assim:
(1,x_{2},x_{3})\cdot(-1,-3,1)=0.
Desenvolvendo essa soma obtemos a equação:
-1 -3x_{2} + x_{3} = 0.
Isolando x_{3} vem:
x_{3} = 1 + 3x_{2}.

Passo 3

Agora usamos a condição \vec{x}\in H. Como H é o span dos vetores v_{1}=(1,1,2) e v_{2}=(-3,-2,-5), existe escalares a e b tais que
\vec{x} = a v_{1} + b v_{2}.
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} a - 3b = 1,\\[4pt] a - 2b = x_{2},\\[4pt] 2a - 5b = x_{3}. \end{cases}]

Passo 4

Da primeira equação isolamos a:
a = 1 + 3b.

Passo 5

Substituímos a na segunda equação para relacionar b e x_{2}:
(1+3b) - 2b = x_{2}.
Isso dá:
1 + b = x_{2}\quad\Rightarrow\quad b = x_{2} - 1.

Passo 6

Com b = x_{2}-1 voltamos a a = 1+3b:
a = 1 + 3(x_{2}-1) = 3x_{2} - 2.

Passo 7

Agora calculamos x_{3} a partir da terceira equação x_{3}=2a-5b, substituindo a e b:
x_{3} = 2(3x_{2}-2) - 5(x_{2}-1).
Desenvolvendo passo a passo:
x_{3} = 6x_{2} - 4 - 5x_{2} + 5 = x_{2} + 1.

Passo 8

Temos duas expressões para x_{3}: uma vinda da ortogonalidade ( x_{3}=1+3x_{2}, Passo 2) e outra vinda da representação em H ( x_{3}=x_{2}+1, Passo 7). Igualando-as:
1 + 3x_{2} = x_{2} + 1.
Subtraindo 1 de ambos os lados e organizando:
3x_{2} = x_{2} \quad\Rightarrow\quad 2x_{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=0.

Passo 9

Com x_{2}=0 encontramos x_{3} usando qualquer das fórmulas. Usando x_{3}=x_{2}+1:
x_{3} = 0 + 1 = 1.
Portanto o vetor procurado é \vec{x}=(1,0,1) e o valor de x_{3} é 1.

Resposta

1

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