Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ 6 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -1 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 4 \\\\ 8 \\\\ -3 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 4 \\\\ -4 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(15,9,-12,-9,-7).
Seja \vec{x}=[\vec{u}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{2} do vetor \vec{x}. (Dica: nāo é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a segunda coordenada x_{2} do vetor \vec{v} em relação à base ortogonal \beta. Informações dadas relevantes:
\beta=\left\{\begin{bmatrix}4\\\ 6\\\ -1\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\\ -1\\\ 2\\\ -2\\\ -2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-2\\\ 2\\\ -2\\\ -3\\\ -3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-4\\\ 4\\\ 8\\\ -3\\\ 3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1\\\ 1\\\ 2\\\ 4\\\ -4\end{bmatrix}\right\}, \qquad \vec{v}=\begin{bmatrix}15\\\ 9\\\ -12\\\ -9\\\ -7\end{bmatrix}.
A segunda base (o vetor cuja coordenada queremos) é
\vec{b}_{2}=\begin{bmatrix}3\\\ -1\\\ 2\\\ -2\\\ -2\end{bmatrix}.
O que se pede: calcular x_{2}, a entrada 2 do vetor de coordenadas [\vec{u}]_{\beta} de \vec{v}.

Passo 2

Por que existe uma fórmula direta para x_{2} (explicação didática e sem jargões): quando a base é ortogonal, os vetores da base não “misturam” nas projeções — cada coordenada aparece isoladamente se fizermos produto interno (produto escalar) com o vetor de base correspondente. Formalmente, se
\vec{v} = x_{1}\vec{b}_{1}+x_{2}\vec{b}_{2}+\cdots+x_{5}\vec{b}_{5},
e os \vec{b}_{i} são mutuamente ortogonais, então ao fazer o produto escalar com \vec{b}_{2} obtemos
\vec{v}\cdot\vec{b}_{2}=x_{1}(\vec{b}_{1}\cdot\vec{b}_{2})+x_{2}(\vec{b}_{2}\cdot\vec{b}_{2})+\cdots+x_{5}(\vec{b}_{5}\cdot\vec{b}_{2}).
Como a base é ortogonal, todos os termos \vec{b}_{i}\cdot\vec{b}_{2} com i\ne2 são zero, sobrando
\vec{v}\cdot\vec{b}_{2}=x_{2}(\vec{b}_{2}\cdot\vec{b}_{2}).
Portanto a fórmula prática é
x_{2}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_{2}}{\vec{b}_{2}\cdot\vec{b}_{2}}.
Aqui eu explico o que é cada coisa: \vec{v}\cdot\vec{b}_{2} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes correspondentes) e \vec{b}_{2}\cdot\vec{b}_{2} é o quadrado da norma de \vec{b}_{2} (também soma dos quadrados das componentes).

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{b}_{2}. Fazemos termo a termo:
\vec{v}\cdot\vec{b}_{2} =15\cdot 3 + 9\cdot(-1) + (-12)\cdot 2 + (-9)\cdot(-2) + (-7)\cdot(-2).
Agora somamos passo a passo:
15\cdot 3 = 45, \qquad 9\cdot(-1) = -9, \qquad (-12)\cdot 2 = -24,
(-9)\cdot(-2)=18, \qquad (-7)\cdot(-2)=14.
Somando tudo:
\vec{v}\cdot\vec{b}_{2}=45-9-24+18+14.
Calculemos: 45-9=36, 36-24=12, 12+18=30, 30+14=44. Logo
\vec{v}\cdot\vec{b}_{2}=44.

Passo 4

Calcular \vec{b}_{2}\cdot\vec{b}_{2} (soma dos quadrados das componentes de \vec{b}_{2}):
\vec{b}_{2}\cdot\vec{b}_{2}=3^{2}+(-1)^{2}+2^{2}+(-2)^{2}+(-2)^{2}.
Agora os quadrados:
3^{2}=9,\; (-1)^{2}=1,\; 2^{2}=4,\; (-2)^{2}=4,\; (-2)^{2}=4.
Somando:
\vec{b}_{2}\cdot\vec{b}_{2}=9+1+4+4+4=22.

Passo 5

Aplicar a fórmula da Passo 2:
x_{2}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_{2}}{\vec{b}_{2}\cdot\vec{b}_{2}}=\frac{44}{22}=2.
Ótimo — deu um número inteiro, sinal de que os cálculos foram bem comportados. Força aí, isso é exatamente o que você faria na prova: calcular dois produtos escalares e dividir.

Resposta

2 (F)

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