e o vetor \vec{v}=(15,9,-12,-9,-7).
Seja \vec{x}=[\vec{u}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{2} do vetor \vec{x}. (Dica: nāo é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a segunda coordenada x_{2} do vetor \vec{v} em relação à base ortogonal \beta. Informações dadas relevantes:
O que se pede: calcular x_{2}, a entrada 2 do vetor de coordenadas [\vec{u}]_{\beta} de \vec{v}.
Passo 2
Por que existe uma fórmula direta para x_{2} (explicação didática e sem jargões): quando a base é ortogonal, os vetores da base não “misturam” nas projeções — cada coordenada aparece isoladamente se fizermos produto interno (produto escalar) com o vetor de base correspondente. Formalmente, se
Aqui eu explico o que é cada coisa: \vec{v}\cdot\vec{b}_{2} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes correspondentes) e \vec{b}_{2}\cdot\vec{b}_{2} é o quadrado da norma de \vec{b}_{2} (também soma dos quadrados das componentes).
Passo 3
Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{b}_{2}. Fazemos termo a termo:
Ótimo — deu um número inteiro, sinal de que os cálculos foram bem comportados. Força aí, isso é exatamente o que você faria na prova: calcular dois produtos escalares e dividir.