Faça uma substituição para expressar o integrando con uma função racional e então calcule a integral.
integral 1x-x^1 / 5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1x - x^1/5 ,dx
usando uma substituição que transforme o integrando numa função racional. Vamos usar a substituição que elimina a raiz quinta, isto é, definir t = x^1/5.

Passo 2

Com t = x^1/5 temos
x = t^5, dx = 5t^4,dt, x - x^1/5 = t^5 - t = tl(t^4 - 1r)
Substituindo no integrando:
integral 1x - x^1/5,dx = integral 1t(t^4 - 1),(5t^4,dt) = integral 5t^4t(t^4 - 1),dt = integral 5,t^3t^4 - 1,dt

Passo 3

Agora temos a integral racional
integral 5,t^3t^4 - 1,dt
Observe que a derivada de t^4 - 1 é 4t^3. Logo, podemos fazer a substituição auxiliar
u = t^4 - 1, du = 4t^3,dt Longrightarrow t^3,dt = du4
Assim,
integral 5,t^3t^4 - 1,dt = 5 integral t^3,dtu = 5 integral 1u,du4 = 54 integral duu = 54 lnl|ur| + C = 54 lnl|t^4 - 1r| + C

Passo 4

Voltando à variável original x, lembramos que t = x^1/5, então t^4 = x^4/5. Logo a antiderivada é
54 lnl|x^4/5 - 1r| + C

Resposta

integral 1x - x^1/5,dx = 54 lnl|x^4/5 - 1r| + C

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