1. Verificar a regra da cadeia para as funções:
    a) z=u^2-v^2, u=x+1, v=x y
    b) z=f(e^x,-y^2), f(u, v)=2 u+v^2

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a regra da cadeia em duas situações de funções compostas. Vamos calcular as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y sabendo que
a) z = u^2-v^2 com u = x+1 e v = x,y.
b) z = fl(e^x,-y^2r) com f(u,v)=2,u+v^2.
Para isso precisamos: 1) as derivadas parciais de z ou de f em relação a u,v, e 2) as derivadas parciais de u e v em relação a x,y. Em seguida aplicamos
partial zpartial x =partial zpartial u,partial upartial x +partial zpartial v,partial vpartial x, partial zpartial y =partial zpartial u,partial upartial y +partial zpartial v,partial vpartial y

Passo 2

Para o item (a) temos
z = u^2-v^2 Longrightarrow partial zpartial u=2,u, partial zpartial v=-2,v
E
u=x+1Longrightarrow partial upartial x=1,;partial upartial y=0, v=x,yLongrightarrow partial vpartial x=y,;partial vpartial y=x
Aplicando a regra da cadeia,
partial zpartial x =2,ucdot1+(-2,v)cdot y =2,u-2,v,y e partial zpartial y =2,ucdot0+(-2,v)cdot x =-2,v,x
Substituindo u=x+1 e v=xy,
partial zpartial x =2(x+1)-2(xy),y =2x+2-2x,y^2, partial zpartial y =-2(xy),x =-2x^2y

Passo 3

Para o item (b) escrevemos
z=f(u,v) com u=e^x,;v=-y^2, f(u,v)=2u+v^2
Logo
partial fpartial u=2, partial fpartial v=2,v
E
partial upartial x=e^x,;partial upartial y=0, partial vpartial x=0,;partial vpartial y=-2y
Pela regra da cadeia,
partial zpartial x =2cdot e^x+2,vcdot0 =2,e^x, partial zpartial y =2cdot0+2,vcdot(-2y) =-4,v,y
Como v=-y^2,
partial zpartial y =-4(-y^2),y =4,y^3

Resposta

(a) partial zpartial x=2x+2-2x,y^2, partial zpartial y=-2x^2y
(b) partial zpartial x=2,e^x, partial zpartial y=4,y^3

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