Faça uma substituição para expressar o integrando con uma função racional e então calcule a integral.
integral 1x-3 raizx+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1x - 3raizx + 2,dx
usando uma substituição que transforme o integrando em uma função racional e, em seguida, frações parciais.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raizx,
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x = t^2 e dx = 2t,dt

Passo 3

Substituindo em integral 1x - 3raizx + 2,dx obtemos
integral 1t^2 - 3t + 2;2t,dt = integral 2tt^2 - 3t + 2,dt

Passo 4

Fatoramos o denominador:
t^2 - 3t + 2 = (t-1)(t-2),
então o integrando fica
2t(t-1)(t-2)

Passo 5

Decompomos em frações parciais:
2t(t-1)(t-2) = At-1 + Bt-2
Multiplicando ambos os lados por (t-1)(t-2)
2t = A(t-2) + B(t-1)
Comparando coeficientes, resolve-se
A + B = 2, -2A - B = 0 Longrightarrow A = -2,;B = 4
Assim
2t(t-1)(t-2) = -2t-1 + 4t-2

Passo 6

Integramos cada termo:
integral l(-2t-1 + 4t-2r),dt = -2lnl|t-1r| + 4lnl|t-2r| + C

Passo 7

Voltando à variável x com t=raizx, obtemos
-2lnl|raizx-1r| + 4lnl|raizx-2r| + C

Resposta

integral 1x - 3raizx + 2,dx = -2lnl|raizx-1r| + 4lnl|raizx-2r| + C

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