Seja f(x)=1(2-x)^3
(a) Encontre a Série de Maclaurin de f (sem usar a série binomial) e mostre que a série representa a função em [-1,1].
(b) Usando a série obtida acima, encontre a expressão de integral-1^1 1(2-x)^3 d x

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=1(2 - x)^3
e pede:
(a) obter a série de Maclaurin de f sem usar a série binomial e mostrar que ela representa f em [-1,1];
(b) usar essa série para calcular
integral-1^11(2 - x)^3,dx

Passo 2

Começamos da série geométrica para
11 - u=sumn=0^inftyu^n, |u|<1
Tomando u=x/2 obtemos
12 - x =12,11 - x2 =sumn=0^inftyx^n2^n+1,
válida para l|x/2r|<1, isto é |x|<2.

Passo 3

Derivando em x temos
ddxl(12-xr) =1(2-x)^2 =sumn=1^inftyn,x^n-12^n+1

Passo 4

Derivando mais uma vez:
ddxl(1(2-x)^2r) =2(2-x)^3 =sumn=2^inftyn(n-1),x^n-22^n+1
Logo
f(x)=1(2-x)^3 =12,ddxl(1(2-x)^2r) =sumn=2^inftyn(n-1),x^n-22^n+2

Passo 5

Reindexando m=n-2 (ou seja n=m+2) dá
f(x) =summ=0^infty(m+2)(m+1)2^(m+2)+2,x^m =summ=0^infty(m+2)(m+1)2^m+4,x^m
Esta é a série de Maclaurin de f.

Passo 6

Pelo teste da razão, os termos satisfazem
limmtoinftyl|am+1x^m+1amx^mr| =limmtoinfty(m+3)(m+2)(m+2)(m+1)|x|2 =|x|2
Para |x|2<1, ou seja |x|<2, a série converge absolutamente e representa f. Em particular, em [-1,1] temos |x|<=1<2, logo a série converge uniformemente e representa 1(2-x)^3 em [-1,1].

Passo 7

Integramos termo a termo em [-1,1]:
integral-1^1f(x),dx =summ=0^infty(m+2)(m+1)2^m+4 integral-1^1x^m,dx =summ=0^infty(m+2)(m+1)2^m+41^m+1-(-1)^m+1m+1
Isto reduz-se a
summ=0^inftym+22^m+4l(1-(-1)^m+1r)

Passo 8

Note que 1-(-1)^m+1=2 se m é par e 0 se m é ímpar. Escrevendo m=2k obtemos
integral-1^1f(x),dx =sumk=0^infty(2k+2)2^2k+4cdot2 =sumk=0^infty2(k+1)2^2k+3 =sumk=0^inftyk+12^2k+2 =14sumk=0^infty(k+1)l(tfrac14r)^k
Como sumk=0^infty(k+1)r^k=1(1-r)^2 para |r|<1, aqui com r=tfrac14 temos
integral-1^1f(x),dx =14,1(1-tfrac14)^2 =14,1(tfrac34)^2 =14cdot169 =49

Resposta

(a) A série de Maclaurin é
boxed 1(2-x)^3 =summ=0^infty(m+2)(m+1)2^m+4,x^m,
que converge para |x|<2 e, em particular, representa f em [-1,1].
(b)
boxed integral-1^11(2-x)^3,dx =49

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