Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
integral 1x^2+x raizx d x
integral x^3raiz[3]x^2+1 d x
integral e^2 xe^2 x+3 e^x+2 d x
integral sec ^2(t)tg^2(t)+3 tg(t)+2 d t

Passo 1

O enunciado pede para resolver quatro integrais do tipo
integral 1x^2+xraizx,dx,
integral x^3raiz[3]x^2+1,dx,
integral e^2xe^2x+3e^x+2,dx e
integral sec^2ttan^2t+3tan t+2,dt,
usando substituições que transformem cada integrando em função racional.

Passo 2

Para integral 1x^2+xraizx,dx fazemos
;x=t^2, então ;dx=2t,dt e ;raizx=t.
O denominador vira
x^2+xraizx=t^4+t^3=t^3(t+1),
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1x^2+xraizx,dx =2tt^3(t+1),dt =2t^2(t+1),dt
Decompomos em frações parciais:
2t^2(t+1) =-2t+2t^2+2t+1
Integrando,
-2ln|t| -2t +2ln|t+1| +C,
substituindo t=raizx, fica
-,ln x ;-;2raizx;+;2lnl(raizx+1r)+C

Passo 3

Para integral x^3raiz[3]x^2+1,dx fazemos
;u=x^2+1, então du=2x,dx e
;x^3,dx=x^2,(x,dx)=(u-1),du2
A integral vira
12integralu-1u^1/3,du =12integrall(u^2/3-u^-1/3r),du =12l(35u^5/3-32u^2/3r)+C,
isto é
310(x^2+1)^5/3-34(x^2+1)^2/3+C

Passo 4

Para integral e^2xe^2x+3e^x+2,dx fazemos
;u=e^x, então du=e^xdx e
;e^2xdx=u^2dx1=u,du
A integral torna-se
integraluu^2+3u+2,du =integrall(-1u+1+2u+2r),du =-ln|u+1|+2ln|u+2|+C,
ou seja
-,lnl(e^x+1r)+2lnl(e^x+2r)+C

Passo 5

Para integral sec^2ttan^2t+3tan t+2,dt fazemos
;u=tan t, então du=sec^2t,dt e a integral é
integral1u^2+3u+2,du =integrall(1u+1-1u+2r),du =ln|u+1|-ln|u+2|+C,
ou seja
ln!tan t+1tan t+2+C

Resposta

1) -,ln x ;-;2raizx;+;2lnl(raizx+1r)+C 2) 310(x^2+1)^5/3-34(x^2+1)^2/3+C 3) -lnl(e^x+1r)+2lnl(e^x+2r)+C 4) ln!tan t+1tan t+2+C

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