Faça a substituição v=y^{\prime} e v^{\prime}=y^{\prime \prime} para transformar a EDO em linear de 1^{\underline{a}} ordem, resolva para v, e depois integre para achar y.
10. y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=\sin (x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + 4y' = \sin(x),
pede para fazer a substituição v=y' e v'=y'' para reduzir para uma EDO linear de primeira ordem, resolver para v e depois integrar para achar y.
Informações relevantes:
  • Equação original: \;y''+4y'=\sin(x).
  • Substituições exigidas: \;v=y' e \;v'=y''.
  • Objetivo final: obter v(x) e então y(x) (solução geral, com constantes de integração).

Passo 2

Aplicando a substituição pedida: como \;v=y' e \;v'=y'', a EDO em y transforma-se em uma EDO em v. Substituindo em
y''+4y'=\sin(x),
obtemos
v'+4v=\sin(x).
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para v(x).

Passo 3

Vamos resolver a EDO linear de primeira ordem
v'+4v=\sin(x).
Método (fórmula e ideia): para uma EDO da forma \;v'+p(x)v=q(x), usa-se o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Multiplicar a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo em a derivada do produto \mu v.
Aqui p(x)=4, logo
\mu(x)=e^{\int 4\,dx}=e^{4x}.
Multiplicando a equação por \mu obtemos
e^{4x}v' + 4e^{4x}v = e^{4x}\sin(x).
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{4x}v, isto é,
\frac{d}{dx}\big(e^{4x}v\big)=e^{4x}\sin(x).

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
e^{4x}v=\int e^{4x}\sin(x)\,dx + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Agora calculamos a integral
I=\int e^{4x}\sin(x)\,dx.
Fazemos integração por partes duas vezes. Primeiro, escolha u=\sin(x), dv=e^{4x}dx. Então du=\cos(x)dx, v=\dfrac{e^{4x}}{4}. Assim
I=\frac{e^{4x}}{4}\sin(x)-\frac{1}{4}\int e^{4x}\cos(x)\,dx.
Defina
J=\int e^{4x}\cos(x)\,dx.
Para J fazemos integração por partes com u=\cos(x), dv=e^{4x}dx. Então du=-\sin(x)dx, v=\dfrac{e^{4x}}{4}. Obtemos
J=\frac{e^{4x}}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\int e^{4x}\sin(x)\,dx=\frac{e^{4x}}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}I.
Agora substituímos J na expressão de I:
I=\frac{e^{4x}}{4}\sin(x)-\frac{1}{4}\left(\frac{e^{4x}}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}I\right).
Desenvolvendo:
I=\frac{e^{4x}}{4}\sin(x)-\frac{e^{4x}}{16}\cos(x)-\frac{1}{16}I.
Passando o termo -\dfrac{1}{16}I para o lado esquerdo:
I+\frac{1}{16}I=\frac{17}{16}I=\frac{e^{4x}}{4}\sin(x)-\frac{e^{4x}}{16}\cos(x).
Multiplicando por \dfrac{16}{17}:
I=\frac{16}{17}\left(\frac{e^{4x}}{4}\sin(x)-\frac{e^{4x}}{16}\cos(x)\right) =\frac{e^{4x}}{17}\big(4\sin(x)-\cos(x)\big).
Portanto
\int e^{4x}\sin(x)\,dx=\frac{e^{4x}}{17}\big(4\sin(x)-\cos(x)\big)+C,
já absorvendo constantes, e podemos usar essa primitiva na equação obtida no Passo 3.

Passo 5

Voltando à equação integrada:
e^{4x}v=\frac{e^{4x}}{17}\big(4\sin(x)-\cos(x)\big)+C_1.
Dividindo por e^{4x} (que nunca é zero) obtemos v(x):
v=\frac{1}{17}\big(4\sin(x)-\cos(x)\big)+C_1e^{-4x}.
Lembrete: v=y', então agora temos uma expressão para a derivada de y.

Passo 6

Integramos v=y' para obter y. Integramos termo a termo:
y=\int v\,dx =\int\left[\frac{1}{17}\big(4\sin(x)-\cos(x)\big)+C_1e^{-4x}\right]dx.
Calcule cada integral:
\int\frac{1}{17}4\sin(x)\,dx=\frac{4}{17}\big(-\cos(x)\big)=-\frac{4}{17}\cos(x),
\int\frac{1}{17}(-\cos(x))\,dx=-\frac{1}{17}\sin(x),
\int C_1 e^{-4x}\,dx = C_1\left(-\frac{1}{4}e^{-4x}\right)=-\frac{C_1}{4}e^{-4x}.
Somando e adicionando a constante de integração final C_2, obtemos a solução geral
y(x)=-\frac{1}{17}\big(4\cos(x)+\sin(x)\big)-\frac{C_1}{4}e^{-4x}+C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (vindas das duas integrações).

Passo 7

Comentário final e lembrete prático: a estratégia principal foi reduzir a EDO de segunda ordem para uma de primeira ordem com v=y', resolver por fator integrante e depois integrar para recuperar y. As constantes C_1,C_2 representam a família de soluções gerais.

Resposta

y(x)=-\frac{1}{17}\big(4\cos(x)+\sin(x)\big)-\frac{C_1}{4}e^{-4x}+C_2

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