Faça a substituição
e
para transformar a EDO em linear de
ordem, resolva para
, e depois integre para achar
.
10.
10.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
pede para fazer a substituição
e
para reduzir para uma EDO linear de primeira ordem, resolver para
e depois integrar para achar
.
Informações relevantes:
- Equação original:
. - Substituições exigidas:
e . - Objetivo final: obter
e então (solução geral, com constantes de integração).
Passo 2
Aplicando a substituição pedida: como
e
, a EDO em
transforma-se em uma EDO em
. Substituindo em
obtemos
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 3
Vamos resolver a EDO linear de primeira ordem
Método (fórmula e ideia): para uma EDO da forma
, usa-se o fator integrante
. Multiplicar a equação por
transforma o lado esquerdo em a derivada do produto
.
Aqui
, logo
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é,
Passo 4
Integramos ambos os lados em
:
onde
é uma constante de integração. Agora calculamos a integral
Fazemos integração por partes duas vezes. Primeiro, escolha
,
. Então
,
. Assim
Defina
Para
fazemos integração por partes com
,
. Então
,
. Obtemos
Agora substituímos
na expressão de
:
Desenvolvendo:
Passando o termo
para o lado esquerdo:
Multiplicando por
:
Portanto
já absorvendo constantes, e podemos usar essa primitiva na equação obtida no Passo 3.
Passo 5
Voltando à equação integrada:
Dividindo por
(que nunca é zero) obtemos
:
Lembrete:
, então agora temos uma expressão para a derivada de
.
Passo 6
Integramos
para obter
. Integramos termo a termo:
Calcule cada integral:
Somando e adicionando a constante de integração final
, obtemos a solução geral
onde
e
são constantes arbitrárias (vindas das duas integrações).
Passo 7
Comentário final e lembrete prático: a estratégia principal foi reduzir a EDO de segunda ordem para uma de primeira ordem com
, resolver por fator integrante e depois integrar para recuperar
. As constantes
representam a família de soluções gerais.