Faça a substituição v=y^{\prime} e v^{\prime}=y^{\prime \prime} para transformar a EDO em linear de 1^{\underline{a}} ordem, resolva para v, e depois integre para achar y.
8. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' - 2y' = e^{2x}
e pede explicitamente dois passos: (i) fazer a substituição v = y' e v' = y'' para transformar a EDO em uma EDO linear de primeira ordem; (ii) resolver essa EDO para v e depois integrar v para achar y.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A equação original é \;y''-2y'=e^{2x}\;.
  • A substituição proposta é \;v=y'\; (logo \;v'=y''\;).
  • O objetivo final é obter a solução geral y(x) (com as constantes de integração).

Passo 2

Aplicando a substituição \;v=y'\; e \;v'=y''\; na equação dada, obtemos uma equação de primeira ordem para v:
v' - 2v = e^{2x}.
Isto é uma EDO linear de primeira ordem na forma padrão
v' + p(x)\,v = q(x),
com p(x) = -2 e q(x)=e^{2x}.

Passo 3

Explicando o método: para resolver uma EDO linear de primeira ordem no formato \;v' + p(x)v = q(x)\;, usa-se o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto \mu(x)v(x), isto é,
\big(\mu v\big)' = \mu q.
No nosso caso p(x)=-2, então o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.
Verificação rápida: ao derivar \mu v obtemos
\big(e^{-2x}v\big)'=e^{-2x}v'+(-2)e^{-2x}v=e^{-2x}\big(v'-2v\big),
que coincide com o lado esquerdo multiplicado por \mu.

Passo 4

Multiplicando a equação v'-2v=e^{2x} por \mu(x)=e^{-2x} obtemos
\big(e^{-2x}v\big)' = e^{-2x}\,e^{2x} = 1.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-2x}v = \int 1\,dx = x + C_1,
onde C_1 é a constante de integração. Isolando v vem
v = e^{2x}\big(x + C_1\big).
Lembrete intuitivo: \;v é y', então agora temos uma expressão explícita para y'.

Passo 5

Agora integramos para achar y. Temos
y' = v = e^{2x}\big(x + C_1\big)=x e^{2x} + C_1 e^{2x}.
Integramos termo a termo:
y=\int x e^{2x}\,dx + C_1\int e^{2x}\,dx + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Precisamos calcular \int x e^{2x}\,dx. Usamos integração por partes: escolha u=x e dv=e^{2x}dx. Então du=dx e v=\dfrac{1}{2}e^{2x}. Assim
\int x e^{2x}\,dx = u v - \int v\,du = \frac{1}{2}x e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx.
Calculando a última integral:
\int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}.
Portanto
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}.

Passo 6

Substituindo de volta em y:
y = \left(\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}\right) + C_1\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right) + C_2.
Agrupando termos multiplicativos de e^{2x}:
y = \frac{1}{2}x e^{2x} + \left(\frac{C_1}{2}-\frac{1}{4}\right)e^{2x} + C_2.
Como \dfrac{C_1}{2}-\dfrac{1}{4} é apenas uma constante arbitrária (pode ser renomeada), escrevemos a solução geral de forma mais simples com constantes arbitrárias C e D:
y(x)=\frac{1}{2}x e^{2x} + C e^{2x} + D,
onde C e D são constantes arbitrárias de integração.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2}x e^{2x} + C e^{2x} + D

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