Faça a substituição
e
para transformar a EDO em linear de
ordem, resolva para
, e depois integre para achar
.
8.
8.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede explicitamente dois passos: (i) fazer a substituição
e
para transformar a EDO em uma EDO linear de primeira ordem; (ii) resolver essa EDO para
e depois integrar
para achar
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A equação original é
. - A substituição proposta é
(logo ). - O objetivo final é obter a solução geral
(com as constantes de integração).
Passo 2
Aplicando a substituição
e
na equação dada, obtemos uma equação de primeira ordem para
:
Isto é uma EDO linear de primeira ordem na forma padrão
com
e
.
Passo 3
Explicando o método: para resolver uma EDO linear de primeira ordem no formato
, usa-se o fator integrante
. Ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto
, isto é,
No nosso caso
, então o fator integrante é
Verificação rápida: ao derivar
obtemos
que coincide com o lado esquerdo multiplicado por
.
Passo 4
Multiplicando a equação
por
obtemos
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Isolando
vem
Lembrete intuitivo:
é
, então agora temos uma expressão explícita para
.
Passo 5
Agora integramos para achar
. Temos
Integramos termo a termo:
onde
é outra constante de integração. Precisamos calcular
. Usamos integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Assim
Calculando a última integral:
Portanto
Passo 6
Substituindo de volta em
:
Agrupando termos multiplicativos de
:
Como
é apenas uma constante arbitrária (pode ser renomeada), escrevemos a solução geral de forma mais simples com constantes arbitrárias
e
:
onde
e
são constantes arbitrárias de integração.