Faça a substituição v=y^{\prime} e v^{\prime}=y^{\prime \prime} para transformar a EDO em linear de 1^{\underline{a}} ordem, resolva para v, e depois integre para achar y.
9. 2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede: fazer a substituição v=y^{\prime} e v^{\prime}=y^{\prime\prime} para transformar a EDO em uma EDO linear de primeira ordem, resolver essa EDO para v e depois integrar para achar y.
Informações dadas:
2\,y^{\prime\prime}+y^{\prime}=x.
O que precisa ser encontrado:
  • Primeiro: v(x) satisfazendo a EDO obtida por v=y^{\prime}.
  • Depois: y(x) obtida integrando v=y^{\prime}.

Passo 2

Fazendo a substituição v=y^{\prime}, temos v^{\prime}=y^{\prime\prime}. Substituindo na equação original obtemos uma EDO de primeira ordem para v:
2\,v^{\prime}+v=x.
Aqui v(x) é a derivada de y(x) e v^{\prime}(x) é a derivada de v em relação a x.

Passo 3

Colocamos a EDO em forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
v^{\prime}+\frac{1}{2}v=\frac{x}{2}.
Recordando a ideia: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
v^{\prime}+p(x)\,v=q(x),
onde p(x)=\tfrac{1}{2} e q(x)=\tfrac{x}{2} neste caso. A técnica padrão é usar um fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.

Passo 4

Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{2}\,dx\right)=\exp\!\left(\frac{x}{2}\right)=e^{x/2}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos uma derivada do produto:
e^{x/2}v^{\prime}+\frac{1}{2}e^{x/2}v=\frac{x}{2}e^{x/2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(v\,e^{x/2}\bigr)=\frac{x}{2}e^{x/2}.
A ideia é que o lado esquerdo é a derivada exata de v\,e^{x/2}, o que facilita a integração.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
v\,e^{x/2}=\int \frac{x}{2}e^{x/2}\,dx + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração.
Agora calculamos a integral do lado direito. Primeiro note que
\int \frac{x}{2}e^{x/2}\,dx=\frac{1}{2}\int x e^{x/2}\,dx.
Fazemos integração por partes em \int x e^{x/2}\,dx. Escolhendo u=x e dv=e^{x/2}\,dx temos du=dx e v=2e^{x/2}. Então
\int x e^{x/2}\,dx = x\cdot 2e^{x/2}-\int 2e^{x/2}\,dx =2x e^{x/2}-4e^{x/2}+C.
Dividindo por 2 obtemos
\int \frac{x}{2}e^{x/2}\,dx = x e^{x/2}-2e^{x/2}+C.
Portanto
v\,e^{x/2}=x e^{x/2}-2e^{x/2}+C_1.

Passo 6

Isolamos v dividindo por e^{x/2}:
v=x-2+C_1 e^{-x/2}.
Lembre que C_1 é uma constante arbitrária obtida na integração da EDO de primeira ordem.

Passo 7

Voltando a y: como v=y^{\prime}, temos
y^{\prime}=x-2+C_1 e^{-x/2}.
Integramos termo a termo para obter y. As primitivas são:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},\qquad \int (-2)\,dx=-2x,\qquad \int C_1 e^{-x/2}\,dx=C_1\cdot(-2)e^{-x/2}.
Adicionando a constante de integração da segunda integração, digamos C_2, obtemos
y=\frac{x^{2}}{2}-2x-2C_1 e^{-x/2}+C_2.

Passo 8

Podemos renomear as constantes arbitrárias se preferir: seja A=-2C_1 e B=C_2. Então a solução geral pode ser escrita de forma equivalente como
y=\frac{x^{2}}{2}-2x + A e^{-x/2}+B,
onde A e B são constantes arbitrárias (isso faz sentido porque uma EDO de segunda ordem tem duas constantes de integração).

Resposta

y=\frac{x^{2}}{2}-2x-2C_{1}e^{-x/2}+C_{2}

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