Faça a substituição
e
para transformar a EDO em linear de
ordem, resolva para
, e depois integre para achar
.
9.
9.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede: fazer a substituição
e
para transformar a EDO em uma EDO linear de primeira ordem, resolver essa EDO para
e depois integrar para achar
.
Informações dadas:
O que precisa ser encontrado:
- Primeiro:
satisfazendo a EDO obtida por . - Depois:
obtida integrando .
Passo 2
Fazendo a substituição
, temos
. Substituindo na equação original obtemos uma EDO de primeira ordem para
:
Aqui
é a derivada de
e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Colocamos a EDO em forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Recordando a ideia: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
neste caso. A técnica padrão é usar um fator integrante
.
Passo 4
Calculamos o fator integrante:
Multiplicando a equação por
obtemos uma derivada do produto:
A ideia é que o lado esquerdo é a derivada exata de
, o que facilita a integração.
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é uma constante de integração.
Agora calculamos a integral do lado direito. Primeiro note que
Fazemos integração por partes em
. Escolhendo
e
temos
e
. Então
Dividindo por
obtemos
Portanto
Passo 6
Isolamos
dividindo por
:
Lembre que
é uma constante arbitrária obtida na integração da EDO de primeira ordem.
Passo 7
Voltando a
: como
, temos
Integramos termo a termo para obter
. As primitivas são:
Adicionando a constante de integração da segunda integração, digamos
, obtemos
Passo 8
Podemos renomear as constantes arbitrárias se preferir: seja
e
. Então a solução geral pode ser escrita de forma equivalente como
onde
e
são constantes arbitrárias (isso faz sentido porque uma EDO de segunda ordem tem duas constantes de integração).