Faça a substituição v=y^{\prime} e v^{\prime}=y^{\prime \prime} para transformar a EDO em linear de 1^{\underline{a}} ordem, resolva para v, e depois integre para achar y.
5. y^{\prime \prime}+y^{\prime}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}+y^{\prime}=1
e pede que se faça a substituição v=y^{\prime} (logo v^{\prime}=y^{\prime\prime}), transformando a equação em uma EDO linear de primeira ordem para v, que deve ser resolvida. Depois de encontrar v(x), integrar para obter y(x). As informações relevantes são:
  • Equação inicial: \;y^{\prime\prime}+y^{\prime}=1.
  • Substituições obrigatórias: \;v=y^{\prime} e \;v^{\prime}=y^{\prime\prime}.
  • Objetivo: resolver para v(x) e depois integrar para achar y(x) (solução geral, com constantes de integração).

Passo 2

Aplicando as substituições dadas: como v=y^{\prime} e v^{\prime}=y^{\prime\prime}, a equação original vira uma equação para v:
v^{\prime}+v=1.
Portanto reduzimos a EDO de segunda ordem a uma EDO linear de primeira ordem para v(x).

Passo 3

Vamos resolver a EDO linear de primeira ordem
v^{\prime}+v=1.
Resumo do método (integrating factor): para uma equação da forma \;v^{\prime}+p(x)v=q(x), calcula-se o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Aqui p(x)=1, então
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos uma derivada de produto:
e^{x}v^{\prime}+e^{x}v=(e^{x}v)^{\prime}=e^{x}\cdot 1=e^{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
\int (e^{x}v)^{\prime}\,dx=\int e^{x}\,dx
o que dá
e^{x}v=e^{x}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Agora isolamos v:
v=1+C_{1}e^{-x}.
Esse é v(x), e lembrando que v=y^{\prime}.

Passo 5

Agora integramos v=y^{\prime} para obter y. Temos
y^{\prime}=1+C_{1}e^{-x}.
Integramos termo a termo:
y=\int 1\,dx+\int C_{1}e^{-x}\,dx = x - C_{1}e^{-x}+C_{2},
onde C_{2} é uma nova constante de integração. Podemos verificar rapidamente: derivando y obtemos y^{\prime}=1+C_{1}e^{-x} e y^{\prime\prime}=-C_{1}e^{-x}; somando y^{\prime\prime}+y^{\prime}=-C_{1}e^{-x}+1+C_{1}e^{-x}=1, que coincide com a equação original.

Resposta

y(x)=x - C_{1}e^{-x}+C_{2}

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