Faça a substituição
e
para transformar a EDO em linear de
ordem, resolva para
, e depois integre para achar
.
5.
5.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se faça a substituição
(logo
), transformando a equação em uma EDO linear de primeira ordem para
, que deve ser resolvida. Depois de encontrar
, integrar para obter
. As informações relevantes são:
- Equação inicial:
. - Substituições obrigatórias:
e . - Objetivo: resolver para
e depois integrar para achar (solução geral, com constantes de integração).
Passo 2
Aplicando as substituições dadas: como
e
, a equação original vira uma equação para
:
Portanto reduzimos a EDO de segunda ordem a uma EDO linear de primeira ordem para
.
Passo 3
Vamos resolver a EDO linear de primeira ordem
Resumo do método (integrating factor): para uma equação da forma
, calcula-se o fator integrante
. Aqui
, então
Multiplicando a equação por
obtemos uma derivada de produto:
Passo 4
Integramos ambos os lados em
:
o que dá
onde
é constante de integração. Agora isolamos
:
Esse é
, e lembrando que
.
Passo 5
Agora integramos
para obter
. Temos
Integramos termo a termo:
onde
é uma nova constante de integração. Podemos verificar rapidamente: derivando
obtemos
e
; somando
, que coincide com a equação original.