Faça a substituição
e
para transformar a EDO em linear de
ordem, resolva para
, e depois integre para achar
.
4.
4.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se faça a substituição
e
para reduzir a ordem da EDO a uma EDO linear de primeira ordem, depois resolver para
e, por fim, integrar para achar
.
Informações fornecidas:
- A equação original é
. - Deve ser usada a substituição
e . - Objetivos: (i) resolver a EDO reduzida para
; (ii) integrar para obter .
Passo 2
Aplicando a substituição pedida: como
temos
. Substituindo na equação original obtemos a EDO de primeira ordem para
:
Aqui
significa
. Esta é uma EDO linear de primeira ordem homogênea (a forma geral linear de primeira ordem é
;\ neste caso
e
).
Passo 3
Escolhendo método para resolver
: por ser homogênea e ter separação direta entre
e
, o método de equação separável é simples e direto. Reescrevendo:
Separar as variáveis significa colocar todos os termos em
de um lado e os termos em
do outro:
Passo 4
Integrando ambos os lados (explicando a integral usada:
e
):
onde
é uma constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Absorvendo o sinal e a constante em uma única constante arbitrária
(podendo ser positiva, negativa ou zero), obtemos
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 5
Lembrando que
, agora temos
Para achar
integramos em relação a
. Explicando a integral:
.
onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Podemos simplificar a notação renomeando constantes: se definirmos
e
como antes, a solução geral fica numa forma mais habitual:
com
e
constantes arbitrárias. Observação didática: como a equação original é de segunda ordem, é esperado aparecerem duas constantes de integração na solução geral — aqui
e
.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando
obtemos
e
. Substituindo na EDO:
confirma que a solução está correta.