Faça a substituição v=y^{\prime} e v^{\prime}=y^{\prime \prime} para transformar a EDO em linear de 1^{\underline{a}} ordem, resolva para v, e depois integre para achar y.
4. y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' - 3y' = 0
e pede que se faça a substituição v = y' e v' = y'' para reduzir a ordem da EDO a uma EDO linear de primeira ordem, depois resolver para v e, por fim, integrar para achar y.
Informações fornecidas:
  • A equação original é \;y'' - 3y' = 0.
  • Deve ser usada a substituição \;v = y' e \;v' = y''.
  • Objetivos: (i) resolver a EDO reduzida para v; (ii) integrar para obter y.

Passo 2

Aplicando a substituição pedida: como v = y' temos v' = y''. Substituindo na equação original obtemos a EDO de primeira ordem para v:
v' - 3v = 0.
Aqui v' significa \dfrac{dv}{dx}. Esta é uma EDO linear de primeira ordem homogênea (a forma geral linear de primeira ordem é \;v' + p(x)v = q(x);\ neste caso p(x)=-3 e q(x)=0).

Passo 3

Escolhendo método para resolver \;v' - 3v = 0: por ser homogênea e ter separação direta entre v e x, o método de equação separável é simples e direto. Reescrevendo:
v' = 3v \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{dv}{dx} = 3v.
Separar as variáveis significa colocar todos os termos em v de um lado e os termos em x do outro:
\frac{1}{v}\,dv = 3\,dx.

Passo 4

Integrando ambos os lados (explicando a integral usada: \int \dfrac{1}{v}dv = \ln|v| + C e \int 3\,dx = 3x + C):
\int \frac{1}{v}\,dv = \int 3\,dx
\ln|v| = 3x + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para v:
|v| = e^{3x + C_1} = e^{C_1} e^{3x}.
Absorvendo o sinal e a constante em uma única constante arbitrária C (podendo ser positiva, negativa ou zero), obtemos
v = C e^{3x},
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 5

Lembrando que v = y', agora temos
y' = C e^{3x}.
Para achar y integramos em relação a x. Explicando a integral: \int e^{ax}\,dx = \dfrac{1}{a} e^{ax} + \text{const}.
y = \int C e^{3x}\,dx = C \int e^{3x}\,dx = C\cdot\frac{1}{3} e^{3x} + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.

Passo 6

Podemos simplificar a notação renomeando constantes: se definirmos C_1 = \dfrac{C}{3} e C_2 como antes, a solução geral fica numa forma mais habitual:
y = C_1 e^{3x} + C_2,
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias. Observação didática: como a equação original é de segunda ordem, é esperado aparecerem duas constantes de integração na solução geral — aqui C_1 e C_2.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando y obtemos y' = 3C_1 e^{3x} e y'' = 9C_1 e^{3x}. Substituindo na EDO:
y'' - 3y' = 9C_1 e^{3x} - 3(3C_1 e^{3x}) = 0,
confirma que a solução está correta.

Resposta

y = C_1 e^{3x} + C_2

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