Faça a substituição
e
para transformar a EDO em linear de
ordem, resolva para
, e depois integre para achar
.
6.
6.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se faça a substituição
(logo
), transformando a EDO em uma EDO linear de 1ª ordem para
, que deve ser resolvida. Depois disso, integrar
para obter
. Portanto as tarefas são:
- Substituir
e escrever a EDO em . - Resolver a EDO de 1ª ordem para
. - Integrar
para achar .
Todas as informações necessárias estão na própria equação.
Passo 2
Façamos a substituição pedida: defina
. Então
. Substituindo na equação original obtemos a EDO de 1ª ordem em
:
Agora temos que resolver essa equação linear para
.
Passo 3
Explicando a técnica que vamos usar (integrating factor): uma equação linear de 1ª ordem tem a forma
onde
e
são funções conhecidas. Aqui podemos escrever a equação como
logo
e
. A ideia do fator integrante
é multiplicar a equação por
de forma que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. O fator integrante é dado por
No nosso caso
Passo 4
Multiplicando a equação por
obtemos
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Portanto podemos escrever
Integrando ambos os lados em relação a
,
Calcule a integral do lado direito; uma primitiva de
é
, então
onde
é constante de integração. Assim
Multiplicando por
para isolar
,
Passo 5
Verificação rápida (opcional, mas esclarecedora): calcule
e confira na equação.
funciona, então
está correta.
Agora lembre que
. Logo
Integramos
para obter
. Uma primitiva de
é
e de
é
. Assim
onde
é uma segunda constante de integração (porque integramos uma segunda vez).
Passo 6
Comentário sobre constantes e forma geral:
e
são constantes arbitrárias reais. A forma geral da solução é
Observação alternativa (mais curta): podia-se também resolver
encontrando solução particular constante
e solução homogênea
, somando-as para obter
; então procede-se à integração exatamente como fizemos. Use a abordagem que for mais confortável na prova — ambas são rápidas.