Faça a substituição v=y^{\prime} e v^{\prime}=y^{\prime \prime} para transformar a EDO em linear de 1^{\underline{a}} ordem, resolva para v, e depois integre para achar y.
6. y^{\prime \prime}-y^{\prime}=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''-y'=2
e pede que se faça a substituição v=y' (logo v'=y''), transformando a EDO em uma EDO linear de 1ª ordem para v, que deve ser resolvida. Depois disso, integrar v para obter y. Portanto as tarefas são:
  • Substituir v=y' e escrever a EDO em v.
  • Resolver a EDO de 1ª ordem para v.
  • Integrar v para achar y.
    Todas as informações necessárias estão na própria equação.

Passo 2

Façamos a substituição pedida: defina v=y'. Então v'=y''. Substituindo na equação original obtemos a EDO de 1ª ordem em v:
v' - v = 2.
Agora temos que resolver essa equação linear para v(x).

Passo 3

Explicando a técnica que vamos usar (integrating factor): uma equação linear de 1ª ordem tem a forma
v' + P(x)\,v = Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas. Aqui podemos escrever a equação como
v' + (-1)\,v = 2,
logo P(x)=-1 e Q(x)=2. A ideia do fator integrante \mu(x) é multiplicar a equação por \mu(x) de forma que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)v(x). O fator integrante é dado por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
No nosso caso
\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(x)=e^{-x} obtemos
e^{-x}v' - e^{-x}v = 2e^{-x}.
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-x}v, pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}v\bigr)=e^{-x}v' + (-e^{-x})v = e^{-x}v' - e^{-x}v.
Portanto podemos escrever
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}v\bigr)=2e^{-x}.
Integrando ambos os lados em relação a x,
e^{-x}v=\int 2e^{-x}\,dx.
Calcule a integral do lado direito; uma primitiva de e^{-x} é -e^{-x}, então
\int 2e^{-x}\,dx = -2e^{-x}+C_1,
onde C_1 é constante de integração. Assim
e^{-x}v=-2e^{-x}+C_1.
Multiplicando por e^{x} para isolar v,
v=-2 + C_1 e^{x}.

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas esclarecedora): calcule v' e confira na equação.
v' = C_1 e^{x},\qquad v'-v = C_1 e^{x} -(-2 + C_1 e^{x}) = 2,
funciona, então v está correta.
Agora lembre que v=y'. Logo
y' = -2 + C_1 e^{x}.
Integramos y' para obter y. Uma primitiva de -2 é -2x e de e^{x} é e^{x}. Assim
y = \int\bigl(-2 + C_1 e^{x}\bigr)\,dx = -2x + C_1 e^{x} + C_2,
onde C_2 é uma segunda constante de integração (porque integramos uma segunda vez).

Passo 6

Comentário sobre constantes e forma geral: C_1 e C_2 são constantes arbitrárias reais. A forma geral da solução é
y(x)=C_1 e^{x}-2x+C_2.
Observação alternativa (mais curta): podia-se também resolver v' - v = 2 encontrando solução particular constante v_p=-2 e solução homogênea v_h=C_1 e^{x}, somando-as para obter v=v_h+v_p; então procede-se à integração exatamente como fizemos. Use a abordagem que for mais confortável na prova — ambas são rápidas.

Resposta

y(x)=C_1 e^{x}-2x+C_2

Exercícios relacionados