Faça uma tabela para os valores de
, onde a
é dada abaixo. O domínio de
são os naturais de 1 a 7 . Especifique o domínio de
.
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \
\hline
& 3 & -7 & 19 & 4 & 178 & 2 & 1 \
\hline
\hline
\hline
\hline
Passo 1
A função dada é f: {1,2,3,4,5,6,7}→ℝ definida pela tabela abaixo. Nosso objetivo é montar a tabela de f^{-1} e especificar o domínio de f^{-1}.
Passo 2
Para que a inversa exista, f precisa ser bijetora. Como os valores f(x) = 3, -7, 19, 4, 178, 2 e 1 são todos distintos, f é injetora. E, sendo definida num conjunto finito de 7 elementos, sua imagem tem exatamente 7 elementos, logo f é sobrejetora sobre sua imagem. Portanto, f é bijetora.
Passo 3
A definição de função inversa f^{-1} é: se f(x)=y, então f^{-1}(y)=x. O domínio de f^{-1} será o conjunto imagem de f, e o contradomínio será {1,2,3,4,5,6,7}.
Passo 4
Agora, para cada par (x,f(x)) na tabela original, invertendo as coordenadas, obtemos f^{-1}(f(x))=x. Assim calculamos: f^{-1}(3)=1, f^{-1}(-7)=2, f^{-1}(19)=3, f^{-1}(4)=4, f^{-1}(178)=5, f^{-1}(2)=6 e f^{-1}(1)=7.
Passo 5
O domínio de f^{-1} é justamente o conjunto de valores que f assume, ou seja, {3, -7, 19, 4, 178, 2, 1}.
Resposta
A tabela de f^{-1} é:
O domínio de f^{-1} é