u=3 x-4 y^2 ; x=5 p q ; y=3 p^2-2 q ; partial upartial p ; partial upartial q

Passo 1

O enunciado pede para achar as derivadas parciais de uma função composta. O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia em derivadas parciais: temos u=3x-4y^2, com x=5pq e y=3p^2-2q. Para resolver, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais elementares de u em relação a x,y e de x,y em relação a p,q, e depois usar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, as derivadas de u em relação às variáveis intermediárias. Como u=3x-4y^2, temos
partial upartial x=3,
partial upartial y=-8y

Passo 3

Agora, derivadas de x e y em relação a p e q. Como x=5pq e y=3p^2-2q, dá:
partial xpartial p=5q, partial xpartial q=5p,
partial ypartial p=6p, partial ypartial q=-2

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial upartial p:
partial upartial p=partial upartial xpartial xpartial p+partial upartial ypartial ypartial p
Substituindo os valores:
partial upartial p=3cdot(5q)+(-8y)cdot(6p)=15q-48py
E como y=3p^2-2q, ficamos com
partial upartial p=15q-48p(3p^2-2q)=-144p^3+96pq+15q

Passo 5

Finalmente, para partial upartial q usamos:
partial upartial q=partial upartial xpartial xpartial q+partial upartial ypartial ypartial q
Substituindo:
partial upartial q=3cdot(5p)+(-8y)cdot(-2)=15p+16y
E trocando y=3p^2-2q:
partial upartial q=15p+16(3p^2-2q)=48p^2+15p-32q

Resposta

partial upartial p=-144p^3+96pq+15q,partial upartial q=48p^2+15p-32q.

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