Faça a transformação conveniente e use o limite fundamental, lim t 0 sen tt=1, para calcular os limites abaixo.
lim x 1 sen(pi x)x^2-3 x+2

Passo 1

Nesse exercício queremos calcular limxto1dfracsin(pi x)x^2-3x+2 usando o limite fundamental limtto0sin tt=1. O conteúdo envolve indeterminações do tipo 0/0, fatoração e mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, avaliando diretamente o numerador e o denominador em x=1:
0/0
e

Portanto temos uma indeterminação , o que justifica usar transformações.

Passo 3

Fatoramos o denominador para facilitar a análise:
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
Assim o limite fica
limxto1sin(pi x)(x-1)(x-2)

Passo 4

Reescrevemos o limite como produto para separar partes mais simples:
limxto1sin(pi x)x-1;times;limxto11x-2
Note que
limxto11x-2=11-2=-1

Passo 5

Para a primeira parte, fazemos a mudança de variável u=pi(x-1). Quando xto1, então uto0. Observamos ainda que:
sin(pi x)=sin(pi+u)=-sin(u)
Logo,
sin(pi x)x-1=-sin(u)u/pi=-pisin(u)u
Pelo limite fundamental limuto0sin(u)u=1, concluímos que
.

Passo 6

Multiplicando as duas partes:
(-pi)times(-1)=pi
Portanto o limite procurado é pi.

Resposta

pi

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