Faça a transformação conveniente e use o limite fundamental, lim t 0 sen tt=1, para calcular os limites abaixo.
lim x 0 1-cos (2 x)1-cos (4 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto01-cos(2x)1-cos(4x). O conteúdo é limite de função trigonométrica, e vamos precisar usar a identidade trigonométrica 1-cos u=2sin^2l(tfrac u2r) e o limite fundamental limtto0tfracsin tt=1.

Passo 2

Aplicando a identidade em numerador e denominador: reescrevemos
1-cos(2x)=2sin^2l(xr),1-cos(4x)=2sin^2l(2xr)

Passo 3

Logo
1-cos(2x)1-cos(4x)=2sin^2(x)2sin^2(2x)=sin^2(x)sin^2(2x)

Passo 4

Para usar o limite fundamental, escrevemos
sin^2(x)=x^2l(sin xxr)^2,sin^2(2x)=(2x)^2l(sin(2x)2xr)^2=4x^2l(sin(2x)2xr)^2

Passo 5

Portanto
sin^2(x)sin^2(2x)=x^2l(sin xxr)^24x^2l(sin(2x)2xr)^2=14l(sin x/xsin(2x)/(2x)r)^2

Passo 6

Agora, ao fazer xto0, cada uma das frações sin xx e sin(2x)2x tende a 1. Assim o limite vale
14,(1/1)^2=14

Resposta

1/4

Exercícios relacionados