O polinômio
é tal que o polinômio
se anula em
.Podemos afirmar corretamente que o produto das raízes de
é:
c)
c)
Passo 1
O enunciado dá o polinômio monico P(x)=x³ + a x² + b x + c e define Q(x)=P(x)+P(-x). As condições são Q(2)=0 e Q(1)=2. O conteúdo usado será paridade de polinômios para simplificar Q(x) e, ao final, as fórmulas de Viète para extrair o produto das raízes de P.
Passo 2
Para achar Q(x), primeiro calculamos P(-x): P(-x)=(-x)³ + a(-x)² + b(-x) + c = -x³ + a x² - b x + c. Somando P(x)+P(-x) cancelam os termos ímpares x³ e b x, sobrando Q(x)=2a x² + 2c.
Passo 3
Aplicando Q(2)=0 obtemos 2a·2² + 2c = 0. Ou seja, 8a + 2c = 0, que simplifica para c = -4a.
Passo 4
Aplicando Q(1)=2 obtemos 2a·1² + 2c = 2. Ou seja, 2a + 2c = 2, que simplifica para a + c = 1.
Passo 5
Substituindo c = -4a em a + c = 1 temos a - 4a = 1 ⇒ -3a = 1 ⇒ a = -1/3. Logo c = -4·(-1/3) = 4/3.
Passo 6
Como P(x) é monico, pela terceira fórmula de Viète o produto das raízes de P(x) é -c. Substituindo c = 4/3 vem produto = -4/3.