Faça a transformação conveniente e use o limite fundamental, lim t 0 sen tt=1, para calcular os limites abaixo.
lim x pi / 2 1-sen x(2 x-pi)^2

Passo 1

O problema pede o cálculo do limite limxtopi21-sin x(2x-pi)^2. É um exercício de limites que vai usar a substituição e o limite fundamental limuto0sin uu=1.

Passo 2

Fazemos a substituição t=x-tfracpi2, de modo que quando xtotfracpi2 temos tto0. Note que sin x=sinl(tfracpi2+tr)=cos t e 2x-pi=2t.

Passo 3

Reescrevendo o limite em função de t fica:
1-sin x(2x-pi)^2=1-cos t(2t)^2=1-cos t4t^2
Aplicamos a identidade trigonométrica 1-cos t=2sin^2tfrac t2. Assim:
1-cos t4t^2=2sin^2(tfrac t2)4t^2=sin^2(tfrac t2)2t^2

Passo 4

Escrevemos sin^2(tfrac t2)=[sin(tfrac t2)(t/2)]^2cdot(tfrac t2)^2. Logo:
sin^2(tfrac t2)2t^2=l[sin(tfrac t2)(t/2)r]^2cdot(t/2)^22t^2=l[sin(tfrac t2)(t/2)r]^2cdot18

Passo 5

Ao fazer tto0, o quociente sin(tfrac t2)(t/2) tende a 1 pelo limite fundamental. Portanto o limite é 1/8.

Resposta

1/8

Exercícios relacionados