Faça você mesmo

Suponha que em um experimento medimos o tempo de queda livre de uma partícula, t, e a distância percorrida na queda, h para calcular a aceleração da gravidade g, usando g=2 h / t^{2}. Se conhecemos os valores médios medidos de t e h com os respectivos erros, t=(1,20 \pm 0,05) \mathrm{s} e h=(3,38 \pm 0,05) \mathrm{m}, obtenha o erro \Delta g e expresse o resultado da medida de g.

Passo 1

O enunciado nos dá as medições \;t=(1,20\pm0,05)\,\mathrm{s} e \;h=(3,38\pm0,05)\,\mathrm{m}
e pede a aceleração da gravidade definida por
g=\frac{2\,h}{t^{2}},
além de seu erro \Delta g. Vamos usar a propagação de erros via derivadas parciais.

Passo 2

Calculamos primeiro o valor nominal de g substituindo os valores médios:
g =\frac{2\cdot3,38}{(1,20)^{2}} =\frac{6,76}{1,44} \approx4,69\;\mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Para propagar o erro usamos as derivadas parciais:
\frac{\partial g}{\partial h}=\frac{2}{t^{2}}, \quad \frac{\partial g}{\partial t}=-\frac{4\,h}{t^{3}}.
Logo,
\Delta g =\sqrt{\Bigl(\frac{2}{t^{2}}\;\Delta h\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{4\,h}{t^{3}}\;\Delta t\Bigr)^{2}}.

Passo 4

Substituindo t=1,20, \Delta t=0,05, h=3,38 e \Delta h=0,05:
\frac{2}{t^{2}}\;\Delta h =\frac{2}{(1,20)^{2}}\times0,05 =\frac{2}{1,44}\times0,05 \approx0,0694,
\frac{4\,h}{t^{3}}\;\Delta t =\frac{4\cdot3,38}{(1,20)^{3}}\times0,05 =\frac{13,52}{1,728}\times0,05 \approx0,3912.
Portanto
\Delta g =\sqrt{(0,0694)^{2}+(0,3912)^{2}} \approx0,40\;\mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

g=(4,69\pm0,40)\,\mathrm{m/s^{2}}

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