Sem calculadora. O chamado “triângulo 3-4-5” é um triângulo retângulo com catetos de tamanhos 3 e 4, e hipotenusa de tamanho 5. Neste triângulo, os ângulos agudos são aproximadamente 37^{\circ} e 53^{\circ}. Sabendo disso:
a. Desenhe os eixos x e y no padrão usual (horizontal para a direita e vertical para cima, respectivamente), e esboce os seguintes vetores:
\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j} \quad ; \quad \vec{b}=-15 \hat{i}+20 \hat{j} \quad ; \quad \vec{c}=8 \hat{i}-6 \hat{j} \quad ; \quad \vec{d}=-2 \hat{i}-\frac{3}{2} \hat{j} \quad.
Determine, para cada um destes vetores: o módulo; e o ângulo que faz com o eixo x positivo, considerando os ângulos entre -180^{\circ} e 180^{\circ}.
b. Calcule o vetor \vec{e}=-3 \vec{a}+2 \vec{b}+5 \vec{c}+\hat{j}. Calcule então seu módulo e o ângulo que faz com o eixo x positivo.

Passo 1

O enunciado pede para cada vetor \vec{a}=3\,\hat\imath+4\,\hat\jmath, \vec{b}=-15\,\hat\imath+20\,\hat\jmath, \vec{c}=8\,\hat\imath-6\,\hat\jmath, \vec{d}=-2\,\hat\imath-\tfrac32\,\hat\jmath
calcular (i) o módulo pela norma euclidiana e (ii) o ângulo \theta que faz com o eixo x positivo, usando
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}, \quad \tan\theta=\frac{v_y}{v_x},
ajustando o valor de \theta ao quadrante correto (entre -180^\circ e 180^\circ).
Depois, em (b), formar \vec{e}=-3\vec{a}+2\vec{b}+5\vec{c}+\hat\jmath e repetir o cálculo de módulo e ângulo.

Passo 2

Para \vec{a}=(3,4):
o módulo vem de
\|\vec{a}\| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} =5.
Como x>0 e y>0, \theta está no 1º quadrante e
\tan\theta=\frac{4}{3} \;\Longrightarrow\; \theta\approx53^\circ
(use o triângulo 3\text{-}4\text{-}5).

Passo 3

Para \vec{b}=(-15,20):
\|\vec{b}\| = \sqrt{(-15)^2+20^2} = \sqrt{225+400} =25.
Aqui x<0, y>0, 2º quadrante. A referência é
\arctan\Bigl|\tfrac{20}{-15}\Bigr| =\arctan\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)\approx53^\circ,
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\theta=180^\circ-53^\circ=127^\circ.

Passo 4

Para \vec{c}=(8,-6):
\|\vec{c}\| = \sqrt{8^2+(-6)^2} = \sqrt{64+36} =10.
Aqui x>0, y<0, 4º quadrante. A referência é
\arctan\Bigl|\tfrac{-6}{8}\Bigr| =\arctan\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)\approx37^\circ,
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\theta=-37^\circ.

Passo 5

Para \vec{d}=(-2,-\tfrac32):
\|\vec{d}\| = \sqrt{(-2)^2+(-\tfrac32)^2} = \sqrt{4+2{,}25} =2{,}5.
Aqui x<0, y<0, 3º quadrante. A referência é
\arctan\Bigl|\tfrac{-3/2}{-2}\Bigr| =\arctan\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)\approx37^\circ,
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\theta=-180^\circ+37^\circ=-143^\circ.

Passo 6

Agora \vec{e}=-3\vec{a}+2\vec{b}+5\vec{c}+\hat\jmath.
Calcule componente a componente:
e_x=-3\cdot3+2\cdot(-15)+5\cdot8+0 =-9-30+40=1,
e_y=-3\cdot4+2\cdot20+5\cdot(-6)+1 =-12+40-30+1=-1.
Então \vec{e}=(1,-1).
O módulo é
\|\vec{e}\| =\sqrt{1^2+(-1)^2} =\sqrt{2}\approx1{,}414.
Como x>0, y<0 (4º quadrante) e
\tan\theta=\frac{-1}{1}=-1 \;\Longrightarrow\; \theta=-45^\circ.

Resposta

a. \|\vec{a}\|=5,\;\theta_a=53^\circ \|\vec{b}\|=25,\;\theta_b=127^\circ \|\vec{c}\|=10,\;\theta_c=-37^\circ \|\vec{d}\|=2{,}5,\;\theta_d=-143^\circ b. \vec{e}=(1,-1),\;\|\vec{e}\|=\sqrt{2}\approx1{,}414,\;\theta_e=-45^\circ.

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