Considere o triângulo no espaço de vértices A=(1,-2,2), B=(4,3,-1) e C=(3,1,0). O ponto M encontra-se no segmento B C e obedece \overrightarrow{B M}=\frac{2 \overrightarrow{B C}}{3}. Calcule a área do triângulo A C M.
Escreva a resposta com duas casas decimais. Por exemplo, 2 / 3 \approx 0,67. Consideraremos uma tolerância de 0,01 .
Resposta: □

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo e a posição de M no segmento BC. Dados importantes:
  • A=(1,-2,2).
  • B=(4,3,-1).
  • C=(3,1,0).
  • O ponto M pertence ao segmento BC e satisfaz \overrightarrow{BM}=\dfrac{2\overrightarrow{BC}}{3}.
O que é pedido:
  • Calcular a área do triângulo ACM e apresentar o resultado com duas casas decimais.

Passo 2

Primeiro vamos achar as coordenadas de M. Começo calculando o vetor \overrightarrow{BC}:
\overrightarrow{BC}=C-B=(3-4,\;1-3,\;0-(-1))=(-1,\,-2,\,1).
Como \overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}, temos
\overrightarrow{BM}=\left(-\dfrac{2}{3},\;-\dfrac{4}{3},\;\dfrac{2}{3}\right).
Então as coordenadas de M são B+\overrightarrow{BM}:
M=\left(4-\dfrac{2}{3},\;3-\dfrac{4}{3},\;-1+\dfrac{2}{3}\right)=\left(\dfrac{10}{3},\;\dfrac{5}{3},\;-\dfrac{1}{3}\right).

Passo 3

Para calcular a área do triângulo ACM usamos a fórmula via produto vetorial em \mathbb{R}^3:
\text{Área}(ACM)=\dfrac{1}{2}\left\|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AM}\right\|.Á
Aqui \overrightarrow{AC}=C-A e \overrightarrow{AM}=M-A. Vamos calcular esses vetores:
\overrightarrow{AC}=C-A=(3-1,\;1-(-2),\;0-2)=(2,\,3,\,-2),
\overrightarrow{AM}=M-A=\left(\dfrac{10}{3}-1,\;\dfrac{5}{3}-(-2),\;-\dfrac{1}{3}-2\right)=\left(\dfrac{7}{3},\;\dfrac{11}{3},\;-\dfrac{7}{3}\right).

Passo 4

Para facilitar o produto vetorial, observe que \overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}(7,11,-7). Então
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}\times\left(\dfrac{1}{3}(7,11,-7)\right)=\dfrac{1}{3}\big(\overrightarrow{AC}\times(7,11,-7)\big).
Vou calcular \overrightarrow{AC}\times(7,11,-7) primeiro. Lembrando a fórmula do produto vetorial para u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3):
u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).

Passo 5

Aplicando a fórmula com u=\overrightarrow{AC}=(2,3,-2) e v=(7,11,-7):
\overrightarrow{AC}\times(7,11,-7)=\big(3\cdot(-7)-(-2)\cdot11,\;(-2)\cdot7-2\cdot(-7),\;2\cdot11-3\cdot7\big).
Calculemos cada componente:
  • Primeira componente: 3\cdot(-7)-(-2)\cdot11=-21-(-22)=-21+22=1.
  • Segunda componente: (-2)\cdot7-2\cdot(-7)=-14-(-14)=-14+14=0.
  • Terceira componente: 2\cdot11-3\cdot7=22-21=1.
Portanto
\overrightarrow{AC}\times(7,11,-7)=(1,0,1).
Logo
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}(1,0,1).

Passo 6

Agora calculamos a norma do vetor \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AM}. Para um vetor w=(w_1,w_2,w_3),
\|w\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
Aqui
\left\|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AM}\right\|=\left\|\dfrac{1}{3}(1,0,1)\right\|=\dfrac{1}{3}\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\dfrac{1}{3}\sqrt{2}.
Finalmente a área é
\text{Área}(ACM)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\sqrt{2}=\dfrac{1}{6}\sqrt{2}.Á

Passo 7

Calculemos numericamente e arredondemos para duas casas decimais. Sabendo que \sqrt{2}\approx1,41421356,
\dfrac{1}{6}\sqrt{2}\approx\dfrac{1,41421356}{6}\approx0,23570226\ldots
Arredondando para duas casas decimais obtemos 0,24.

Resposta

0,24

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