5- Na face à esquerda de uma parede o ambiente está a
e o ar se move de tal forma que o coeficiente convectivo de transferência de calor é igual a
. A temperatura na interface parede-ar é igual a
e nas condições do problema não é conveniente desprezar-se a radiação
. A parede tem 5 cm de espessura, área
e sua condutividade térmica é igual a
. Do outro lado da parede o ar está em tal condição que o coeficiente convectivo de transfer}ência de calor é igual a 35
. Nestas condições, determinar a temperatura do ar longe da parede
.
Passo 1
Listando claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Temperaturas e coeficientes do lado esquerdo (ambiente 1):
- Temperatura do ar longe da parede à esquerda:
. - Coeficiente convectivo à esquerda:
. - Temperatura na interface parede–ar à esquerda (temperatura da face esquerda da parede):
.
- Temperatura do ar longe da parede à esquerda:
- Propriedades de radiação:
- Emissividade da superfície:
. - Constante de Stefan–Boltzmann:
.
- Emissividade da superfície:
- Propriedades da parede:
- Espessura:
. - Área:
. (usaremos fluxos por unidade de área, então só entra se precisarmos de potência total) - Condutividade térmica:
.
- Espessura:
- Lado direito (ambiente 2):
- Coeficiente convectivo à direita:
. - Temperatura do ar longe da parede à direita:
(incógnita a determinar).
- Coeficiente convectivo à direita:
O que se pede:
- Determinar
(temperatura do ar longe da parede do lado direito), em graus Celsius.
Observação útil para organizar a resolução: trabalharemos com fluxos por unidade de área
(W/m²). Em regime permanente, o fluxo por área é o mesmo em toda a sequência: entrada por convecção+radiação à esquerda = condução através da parede = saída por convecção+radiação à direita.
Passo 2
Explicando as leis físicas que serão usadas (passo-a-passo e didático).
- Convecção (fluxo do fluido para a superfície):
- A expressão é
. - Aqui
é o fluxo por área (W/m²), é o coeficiente convectivo (W/m²K), a temperatura do fluido longe da parede e a temperatura da superfície.
- A expressão é
- Radiação (troca entre uma superfície e um grande envoltório à temperatura
): - A expressão exata é
. - Atenção: as temperaturas devem estar em kelvin (K) nas potências de 4.
- A expressão exata é
- Condução através da parede, em regime permanente e unidimensional:
-
. - Aqui
é a temperatura da face esquerda da parede e da face direita.
-
- Balanço de energia (regime permanente, mesmo fluxo por área em todas as “camadas”):
-
Estratégia prática:
- Calcular o fluxo por área
que entra pela face esquerda usando e (ambos fornecidos). - Usar
e a condutividade da parede para achar . - Impor o balanço no lado direito
e resolver para . Esse passo é não-linear por causa do termo ; usaremos um método numérico simples (bissecção/interpolação) e mostrarei as iterações de forma clara.
Passo 3
Converter temperaturas para kelvin e calcular o fluxo que entra pela face esquerda (convecção + radiação).
-
Conversões para kelvin:
-
-
Parte convectiva à esquerda:
-
Parte radiativa à esquerda: para simplificar os cálculos é conveniente usar a forma linearizada do termo radiativoondeEsta forma é apenas algebraicamente equivalente (não é aproximação) e facilita porque transforma a diferença de quartos em um coeficiente multiplicando
. Calculemos:
(os passos numéricos foram: multiplicou-se
por
e depois por
.)
Então a parte radiativa é
- Fluxo total entrando pela face esquerda:
(Arredondarei ao final; por enquanto mantenho 3 casas decimais internas.)
Passo 4
Usar condução na parede para calcular a temperatura da face direita
.
-
A lei da condução dá:Então
-
Calculemos
: -
Portanto
-
Em graus Celsius:
Resumo até aqui: o fluxo por área é
e a temperatura da face direita é
(
).
Passo 5
Balanço no lado direito e solução numérica para
.
-
O balanço de energia no lado direito éEsta é uma equação não-linear em
(devido ao ). Vamos resolver numericamente. Definimos a função e buscamostal que . -
Para iniciar, uma estimativa rápida desprezando a radiação dariaou
. Mas como a radiação também transporta calor, o valor real de ficará um pouco maior (porque parte do calor sai por radiação, logo a diferença de temperatura convectiva necessária diminui). -
Usando bissecção/interpolação fizemos avaliações de
em alguns pontos e refinamos a raíz. Mostro aqui as iterações e cálculos principais (cada avaliação calcula o termo convectivo e o radiativo e depois soma): -
Avaliação em
(estimativa sem radiação): - Termo convectivo:
- Estimativa dos termos radiativos usando
linearizado como antes: - Calculou-se
e . - Assim
- Calculou-se
- Soma conv+rad
-
(lado direito estaria transferindo mais calor que — indicativo que deve aumentar.)
- Termo convectivo:
-
Avaliação em
( ): - Termo convectivo:
- Estimativa radiativa:
, então - Soma conv+rad
-
- Termo convectivo:
Esses dois pontos dão um intervaloem que muda de sinal, então há uma raiz ali. Aplicando bissecção/interpolação e avaliando em pontos intermediários obteve-se convergência rápida: -
Avaliação em
: - Convectivo:
- Rad.:
→ . - Soma:
.
- Convectivo:
-
Avaliação em
: - Convectivo:
- Rad.:
→ . - Soma:
.
- Convectivo:
-
Interpolando entre
(f>0) e (f<0) encontramos a raiz próxima de . A interpolação linear aproximada dá
-
Essas avaliações mostram convergência rápida porque a função é suave; com algumas iterações já se obtém boa precisão.
Passo 6
Converter a solução para Celsius e apresentar a conclusão final.
- Em kelvin:
- Em graus Celsius:
Interpretação física rápida (motivacional): o ar do outro lado está bem mais frio que o ar à esquerda; parte do calor sai por radiação também, por isso a temperatura do ar direito não precisa ser tão baixa quanto se houvesse só convecção para permitir o mesmo fluxo.