Questão 1(5,0) constante e com velocidade de reação elementar. Um reator batelada isotérmico com volume realiza bateladas durante 24 h, sabendo-se que o tempo de preparação do reator, entre uma reação e outra, é de 24 minutos. A constante de velocidade de reação é igual a 0,8 \mathrm{~h}^{-1} e a constante de equilíbrio é igual a 2,5. Determine: a) A conversão da reação; b) A variação porcentual de bateladas caso a conversão máxima seja alcançada?

Passo 1

  • O enunciado fornece:
    • Tempo de reação por batelada: t=24\\ \mathrm{h} (o reator realiza bateladas durante 24 h).
    • Tempo de preparação entre bateladas: t_p=24\\ \text{min} = 0,4\\ \mathrm{h} (informação dada, usada mais adiante se necessário).
    • Constante de velocidade (interpreto como constante direta de reação elementar de primeira ordem): k_f=0,8\\ \mathrm{h}^{-1}.
    • Constante de equilíbrio: K_{eq}=2,5.
  • O enunciado pede:
    • (a) A conversão da reação (isto é, a fração de A convertido em B) após a batelada de 24\\ \mathrm{h}.
    • (b) A variação percentual caso a conversão máxima (conversão de equilíbrio) seja alcançada — interpreto isto como a variação percentual entre a conversão de equilíbrio e a conversão obtida em t=24\\ \mathrm{h}.
  • Observação sobre interpretação: como foi fornecido K_{eq} e uma constante de velocidade, a interpretação física mais natural é tratar a reação como reversível e elementar de primeira ordem do tipo A \rightleftharpoons B com constantes direta k_f e inversa k_r, onde K_{eq}=k_f/k_r. Vou usar essa interpretação para resolver o problema.

Passo 2

  • Modelo cinético (explicação didática):
    • Considere a reação elementar reversível A \xrightleftharpoons[k_r]{k_f} B.
    • Partindo de C_{A0} puro (iniciais: C_A(0)=C_{A0}, C_B(0)=0), definimos a conversão como X(t)=\frac{C_{A0}-C_A(t)}{C_{A0}}=\frac{C_B(t)}{C_{A0}}.Ou seja, X é a fração de A que virou B.
    • A velocidade de desaparecimento de A é -\frac{dC_A}{dt}=k_f C_A - k_r C_B.
    • Em termos de conversão, C_A=C_{A0}(1-X) e C_B=C_{A0}X. Substituindo e dividindo por C_{A0} obtém-se a EDO para X(t): \frac{dX}{dt}=k_f(1-X)-k_r X = k_f - (k_f+k_r)X.Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes.
    • Solução da EDO com condição inicial X(0)=0: X(t)=X_{eq}\bigl(1-e^{-(k_f+k_r)t}\bigr),onde a conversão de equilíbrio X_{eq} é obtida impondo dX/dt=0: X_{eq}=\frac{k_f}{k_f+k_r}.Outra forma equivalente, usando K_{eq}=k_f/k_r, é X_{eq}=\frac{K_{eq}}{1+K_{eq}}.
    • Resumo das variáveis:
      • k_f: constante de velocidade direta ( \mathrm{h}^{-1}).
      • k_r: constante de velocidade inversa ( \mathrm{h}^{-1}).
      • K_{eq}=k_f/k_r: constante de equilíbrio adimensional.
      • t: tempo de reação ( \mathrm{h}).
      • X(t): conversão no tempo t (adimensional, fração).

Passo 3

  • Calcular k_r a partir de K_{eq} e k_f: k_r=\frac{k_f}{K_{eq}}=\frac{0,8}{2,5}=0,32\\ \mathrm{h}^{-1}.
  • Calcular a soma de constantes que aparece na solução: k_f+k_r=0,8+0,32=1,12\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 4

  • Calcular a conversão de equilíbrio X_{eq} usando K_{eq}: X_{eq}=\frac{K_{eq}}{1+K_{eq}}=\frac{2,5}{1+2,5}=\frac{2,5}{3,5}=0,7142857\ldotsOu seja, X_{eq}\approx0,7143 (equivalente a 71,42857\%).

Passo 5

  • Calcular a conversão após t=24\\ \mathrm{h} usando a fórmula: X(t)=X_{eq}\bigl(1-e^{-(k_f+k_r)t}\bigr).Substituindo os valores: X(24)=0,7142857\bigl(1-e^{-1,12\cdot 24}\bigr).Calcular o expoente: (k_f+k_r)t=1,12\times24=26,88.Então e^{-26,88}\approx 2,09\times10^{-12}\\ (\text{extremamente pequeno}).Portanto X(24)\approx 0,7142857\bigl(1-2,09\times10^{-12}\bigr)\approx 0,7142857 - 1,49\times10^{-12}\approx 0,7142857.Numericamente, X(24)\approx0,7142857, ou seja, praticamente igual à conversão de equilíbrio (diferença insignificante em termos práticos).

Passo 6

  • Calcular a variação percentual entre a conversão de equilíbrio e a conversão após 24\\ \mathrm{h} (interpretação do item (b)):
    • Diferença absoluta: \Delta X = X_{eq}-X(24)=X_{eq}\,e^{-(k_f+k_r)24}\approx 0,7142857\times2,09\times10^{-12}\approx 1,49\times10^{-12}.
    • Variação percentual relativa à conversão atual X(24) (forma usual de “variação percentual”): \%\\ \text{variação}=\frac{\Delta X}{X(24)}\times100\% \approx \frac{1,49\times10^{-12}}{0,7142857}\times100\%\approx 2,09\times10^{-10}\%.çã
    • Conclusão: a variação percentual é da ordem de 10^{-10}\%, isto é, desprezível — na prática a batelada de 24\\ \mathrm{h} já leva a conversão praticamente ao equilíbrio.

Resposta

(a) X(24\\ \mathrm{h})\approx0,7142857\approx71,43\%
(b) \text{Variação percentual} \approx 2,09\times10^{-10}\%çã

Exercícios relacionados