A partir da equação geral da condução de calor, obter a expressão para a taxa de transferênciade calor e para a distribuição de temperatura no interior da parede de uma esfera oca empregando os seguintes contornos:
Primeira espécie dentro e terceira espécie fora.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já foi dado (resumo claro):
  • Deseja-se obter:
    1. a distribuição de temperatura T(r) dentro da espessura da parede de uma esfera oca (entre raio interno r_i e raio externo r_o);
    2. a taxa de transferência de calor \dot Q da esfera para o meio externo.
  • Condições de contorno (informadas no enunciado):
    • No contorno interno (primeira espécie): a temperatura é conhecida e igual a T_i, isto é \;T(r_i)=T_i\;.
    • No contorno externo (terceira espécie): há convecção com coeficiente h e temperatura ambiente T_\infty. A condição de contorno é a lei de Newton do resfriamento aplicada na superfície externa: -k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r_o}=h\bigl(T(r_o)-T_\infty\bigr).
  • Outras quantidades que usaremos (todos constantes):
    • condutividade térmica do material k (assumida constante),
    • sem geração interna de calor ( \dot q'''=0),
    • geometria radial esférica com simetria angular (só depende de r).
  • O objetivo prático: achar T(r) para r_i\le r\le r_o e \dot Q (taxa de calor total) em função de r_i,r_o,k,h,T_i,T_\infty.

Passo 2

Equação de condução para regime estacionário e simetria esférica (sem geração):
Explico a equação que usamos e por quê. A equação geral de condução no caso radial esférico, em regime estacionário e sem geração, reduz-se a:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}k\frac{dT}{dr}\right)=0.
Porque:
  • A forma geral (com termos transientes ou geração) simplifica quando a situação é estacionária ( \partial T/\partial t=0) e \dot q'''=0;
  • Pela simetria, T depende apenas de r, então as derivadas angulares desaparecem.
Como k é constante podemos tirar k para fora da derivada:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right)=0.
Integramos essa equação passo a passo. Integrando uma vez:
r^{2}\frac{dT}{dr}=C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Isolando a derivada:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_1}{r^{2}}.
Integramos de novo:
T(r)= -\frac{C_1}{r}+C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Para ficar mais usual, reescrevemos:
T(r)=C_a+\frac{C_b}{r},
com C_a=C_2 e C_b=-C_1. Ambos C_a e C_b serão determinados pelas condições de contorno.
Comentário didático curto: esse perfil T(r)= constante + termo 1/r é típico de condução em cascas esféricas sem geração; a dependência 1/r assegura que o fluxo total 4\pi r^2(-k\,dT/dr) seja independente de r (isto é, a mesma \dot Q atravessa qualquer superfície esférica concêntrica).

Passo 3

Relacionando a constante de integração com a taxa de calor \dot Q usando a lei de Fourier:
A lei de Fourier radial dá o fluxo local:
q_r(r)=-k\frac{dT}{dr}.
A taxa de calor total que atravessa a superfície esférica de raio r é
\dot Q(r)=q_r(r)\cdot A_r = -k\frac{dT}{dr}\cdot 4\pi r^{2}.
Substituindo \dfrac{dT}{dr}=\dfrac{C_1}{r^{2}} obtemos:
\dot Q(r) = -k\cdot\frac{C_1}{r^{2}}\cdot 4\pi r^{2} = -4\pi k C_1.
Como \dot Q não depende de r em regime estacionário, a expressão acima mostra que \dot Q é constante e igual a -4\pi k C_1. Podemos portanto escrever:
C_1 = -\frac{\dot Q}{4\pi k}.
Substituindo isto em T(r)= -\dfrac{C_1}{r}+C_2 (lembrando o sinal), obtemos uma forma prática:
T(r)=C_2+\frac{\dot Q}{4\pi k}\cdot\frac{1}{r}.
É conveniente trabalhar com \dot Q nas equações de fronteira.

Passo 4

Aplicar a condição de contorno interna (primeira espécie) para obter C_2 em função de \dot Q:
A condição interna é \;T(r_i)=T_i. Substituindo r=r_i na expressão de T(r):
T_i = C_2 + \frac{\dot Q}{4\pi k}\cdot\frac{1}{r_i}.
Isolando C_2:
C_2 = T_i - \frac{\dot Q}{4\pi k}\cdot\frac{1}{r_i}.
Logo a distribuição geral fica
T(r)=T_i - \frac{\dot Q}{4\pi k}\!\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r}\right).
Esta é uma expressão já bastante útil: mostra como a temperatura em qualquer ponto r se relaciona com \dot Q e com T_i.

Passo 5

Aplicar a condição de contorno externa (terceira espécie) para encontrar \dot Q:
A condição externa é a condição de convecção na superfície externa:
-k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r_o}=h\bigl(T(r_o)-T_\infty\bigr).
Primeiro calcule \left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r_o} usando a forma T(r)=T_i - \dfrac{\dot Q}{4\pi k}\!\left(\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r}\right). Derivando:
\frac{dT}{dr} = -\left(-\frac{\dot Q}{4\pi k}\right)\frac{1}{r^{2}} = -\frac{\dot Q}{4\pi k}\cdot\left(-\frac{1}{r^{2}}\right)
(como verificado antes, mais direto: \dfrac{dT}{dr}=-\dfrac{\dot Q}{4\pi k}\cdot(-1)1/r^{2}; para ficar claro, a derivada de 1/r é -1/r^{2}). Em forma simplificada:
\frac{dT}{dr}=-\frac{\dot Q}{4\pi k}\cdot\frac{1}{r^{2}}.
Avaliada em r_o:
\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r_o}=-\frac{\dot Q}{4\pi k}\cdot\frac{1}{r_o^{2}}.
Agora aplique a condição de convecção:
-k\left(-\frac{\dot Q}{4\pi k}\cdot\frac{1}{r_o^{2}}\right)=h\bigl(T(r_o)-T_\infty\bigr).
O lado esquerdo simplifica:
\frac{\dot Q}{4\pi r_o^{2}} = h\bigl(T(r_o)-T_\infty\bigr).
Mas T(r_o) pode ser obtido da expressão de T(r) em r_o:
T(r_o)=T_i - \frac{\dot Q}{4\pi k}\!\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}\right).
Substituindo em \dfrac{\dot Q}{4\pi r_o^{2}} = h\bigl(T(r_o)-T_\infty\bigr):
\frac{\dot Q}{4\pi r_o^{2}} = h\left[ T_i - \frac{\dot Q}{4\pi k}\!\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}\right) - T_\infty \right].
Agora resolvemos essa equação para \dot Q. Colocando os termos que contêm \dot Q no mesmo lado:
\frac{\dot Q}{4\pi r_o^{2}} + h\frac{\dot Q}{4\pi k}\!\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}\right) = h(T_i-T_\infty).
Fatorando \dot Q:
\dot Q\left[\frac{1}{4\pi r_o^{2}} + \frac{h}{4\pi k}\!\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}\right)\right] = h(T_i-T_\infty).
Multiplicando numerador e denominador convenientemente (ou simplesmente isolando \dot Q):
\dot Q = \frac{h(T_i-T_\infty)}{\dfrac{1}{4\pi r_o^{2}} + \dfrac{h}{4\pi k}\!\left(\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_o}\right)}.
Multiplicando numerador e denominador por 4\pi k para uma forma mais compacta:
\dot Q = \frac{4\pi k\,(T_i-T_\infty)}{\left(\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_o}\right) + \dfrac{k}{h r_o^{2}} }.
Interpretação física (analogia de resistências térmicas):
  • A expressão também pode ser escrita usando resistências em série: \dot Q = \frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}},onde R_{\text{cond}}=\frac{1}{4\pi k}\!\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}\right), \qquad R_{\text{conv}}=\frac{1}{4\pi r_o^{2}h}.
Isso é prático para pensar: há resistência à condução através da parede esférica e resistência à convecção na face externa; somam-se e determinam \dot Q.

Passo 6

Expressão final para a distribuição de temperatura T(r):
Voltando à expressão geral obtida no Passo 4 e substituindo \dot Q pela forma encontrada no Passo 5, obtemos:
T(r)=T_i - \frac{\dot Q}{4\pi k}\!\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r}\right),
ou, explicitando \dot Q,
T(r)=T_i - \frac{(T_i-T_\infty)\!\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_i}\right)}{\left(\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_o}\right) + \dfrac{k}{h r_o^{2}} }.
Esta expressão dá a temperatura em qualquer ponto r entre r_i e r_o. Uma forma equivalente e talvez mais intuitiva:
T(r)=T_\infty + (T_i-T_\infty)\,\frac{\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_o}\right)+\dfrac{k}{h r_o^{2}}}{\left(\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_o}\right) + \dfrac{k}{h r_o^{2}} }.
Observações finais rápidas e dicas de prova:
  • Em prova, identifique rapidamente que a equação reduz a \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\!\left(r^{2}\dfrac{dT}{dr}\right)=0 e que a solução geral é T(r)=A+B/r. A partir daí aplicar as duas condições: T(r_i)=T_i e a condição de convecção em r_o.
  • Use a analogia de resistências térmicas para escrever \dot Q de forma rápida: resistência de condução esférica R_{\text{cond}}=\dfrac{1}{4\pi k}\left(\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_o}\right) e resistência convectiva R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{4\pi r_o^{2}h}.

Resposta

T(r)=T_i - \dfrac{(T_i-T_\infty)\!\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_i}\right)}{\left(\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_o}\right) + \dfrac{k}{h r_o^{2}}}
\dot Q = \dfrac{4\pi k\,(T_i-T_\infty)}{\left(\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_o}\right) + \dfrac{k}{h r_o^{2}} }

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