4- Um tubo de 2 " de diâmetro e 2 m de comprimento conduz um líquido ( \rho=1150 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{C}_{\mathrm{p}} =2530 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \mathrm{K} ). Na entrada do tubo a temperatura é 97^{\circ} \mathrm{C} e na saída 95,5^{\circ} \mathrm{C}, para uma velocidade do líquido de 1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Considere que a temperatura média do líquido dentro do tubo \left(\mathrm{T}_{\infty} 1\right) é igual à média aritmética entre as temperaturas de entrada e de saída do líquido no tubo. Este tubo é recoberto com uma camada de isolante térmico ( \mathrm{K}_{\text {iso }}=0,025 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K}) de 10 mm de espessura. Considere que a espessura do tubo em si é desprezível. O coeficiente convectivo de transferência de calor entre o líquido que escoa dentro do tubo e a parede interna do tubo é igual a 985 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} sistema tubo-isolante está localizado em uma sala onde o ar ambiente se move devido a um ventilador, de modo que o coeficiente de transferência de calor entre o isolante o o ar é igual a 230 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determinar:
a) a variação de entalpia do líquido;
b) a temperatura do ar ambiente longe do sistema tubo-isolante

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados:
  • Diâmetro do tubo: 2''=0{,}0508\\ \mathrm{m}. Logo o raio interno é r_i=\dfrac{0{,}0508}{2}=0{,}0254\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do tubo: L=2{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Densidade do líquido: \rho=1150\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Capacidade térmica massica: C_p=2530\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
  • Temperatura na entrada: T_{in}=97{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura na saída: T_{out}=95{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Velocidade do líquido: v=1{,}0\\ \mathrm{cm/s}=0{,}01\\ \mathrm{m/s}.
  • Temperatura média do líquido dentro do tubo (fornecida): T_{\infty1}= média aritmética =\dfrac{T_{in}+T_{out}}{2}.
  • Isolante: condutividade térmica k_{\text{iso}}=0{,}025\\ \mathrm{W/(m\,K)} e espessura t=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do tubo desprezível (portanto o raio externo do isolante é r_o=r_i+t).
  • Coeficiente convectivo interno (líquido → parede interna): h_i=985\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}.
  • Coeficiente convectivo externo (isolante → ar): h_o=230\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}.
Pedidos:
a) Determinar a variação de entalpia do líquido (vou calcular a variação específica \Delta h por unidade de massa e também a taxa de variação de entalpia / potência associada ao escoamento, porque os dados de velocidade e densidade permitem isso).
b) Determinar a temperatura do ar ambiente longe do sistema (ou seja, T_{\text{amb}}) que, em regime estacionário, permite a transferência de calor observada entre líquido e ambiente.

Passo 2

Cálculo da variação de entalpia específica do líquido (por unidade de massa).
Conceito e fórmula: para uma variação de temperatura de um líquido incompressível ou pouco compressível a variação de entalpia específica é dada por
\Delta h = C_p\,(T_{out}-T_{in}).
Aqui C_p é a capacidade térmica massica (J/kg·K), T_{in} e T_{out} são as temperaturas inicial e final (em °C ou K; variações de temperatura são iguais em K ou °C).
Substituindo:
\Delta T = T_{out}-T_{in}=95{,}5-97{,}0=-1{,}5\\ \mathrm{K}.
\Delta h = 2530\cdot(-1{,}5) = -3795\\ \mathrm{J/kg}.
Interpretação: o sinal negativo mostra que o líquido perdeu energia (entalpia) ao longo do tubo — ele esfriou 1{,}5^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Cálculo da vazão mássica \dot{m} (necessária para obter a potência térmica associada à variação de entalpia).
Área da seção transversal do tubo:
A=\pi r_i^2=\pi(0{,}0254)^2 \approx 0{,}002027\\ \mathrm{m^2}.
Vazão volumétrica:
\dot{V}=A\,v \approx 0{,}002027\cdot0{,}01 = 2{,}027\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/s}.
Vazão mássica:
\dot{m}=\rho\,\dot{V}=1150\cdot2{,}027\times10^{-5}\approx0{,}02331\\ \mathrm{kg/s}.
Agora a potência térmica (taxa de entalpia transportada) associada à queda de temperatura:
\dot{Q}=\dot{m}\,C_p\,(T_{in}-T_{out})=\dot{m}\,(-\Delta h) \quad(\text{energia perdida pelo fluido por unidade de tempo}).
Usando \Delta h=-3795\\ \mathrm{J/kg},
\dot{Q}=\dot{m}\,C_p\,(T_{in}-T_{out})=\dot{m}\cdot C_p\cdot 1{,}5
ou diretamente
\dot{Q}=\dot{m}\cdot(-\Delta h)\approx0{,}02331\cdot3795\approx88{,}5\\ \mathrm{W}.
Sinal: o fluido perde \approx88{,}5\\ \mathrm{W}; ou seja, 88{,}5\\ \mathrm{W} é transferido do líquido para a parede/isolante/ar.

Passo 4

Modelo térmico do sistema tubo–isolante–ar e expressão para T_{\text{amb}}.
Explicação física e fórmula: em regime estacionário a potência liberada pelo fluido é igual à potência que atravessa a série de resistências térmicas (convecção interna → condução no isolante → convecção externa). Para geometria cilíndrica as resistências (por todo o tubo de comprimento L) são:
  • Resistência convectiva interna:
R_{conv,i}=\frac{1}{h_i A_i}=\frac{1}{h_i(2\pi r_i L)}.
  • Resistência de condução radial no isolante:
R_{cond}=\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k_{\text{iso}} L},
onde r_o=r_i+t.
  • Resistência convectiva externa:
R_{conv,o}=\frac{1}{h_o A_o}=\frac{1}{h_o(2\pi r_o L)}.
A resistência térmica total entre o fluido (temperatura média T_{\infty1}) e o ar ambiente T_{\text{amb}} é
R_{\text{tot}}=R_{conv,i}+R_{cond}+R_{conv,o}.
Em balanço de energia:
\dot{Q}=\frac{T_{\infty1}-T_{\text{amb}}}{R_{\text{tot}}}.
Dessa expressão isolamos T_{\text{amb}}:
T_{\text{amb}}=T_{\infty1}-\dot{Q}\,R_{\text{tot}}.
Agora calculamos numericamente cada termo.
Primeiro a temperatura média do líquido (dada por enunciado):
T_{\infty1}=\frac{97{,}0+95{,}5}{2}=96{,}25^\circ\mathrm{C}.
Raio externo do isolante:
r_o=r_i+t=0{,}0254+0{,}01=0{,}0354\\ \mathrm{m}.
Cálculo das resistências (usar L=2{,}0\\ \mathrm{m}):
  1. R_{conv,i}:
R_{conv,i}=\frac{1}{985\cdot(2\pi\cdot0{,}0254\cdot2{,}0)}=\frac{1}{314{,}40}\approx0{,}00318\\ \mathrm{K/W}.
  1. R_{cond}:
R_{cond}=\frac{\ln(0{,}0354/0{,}0254)}{2\pi\cdot0{,}025\cdot2{,}0} =\frac{\ln(1{,}39370079)}{0{,}314159}\approx\frac{0{,}3310}{0{,}314159}\approx1{,}0537\\ \mathrm{K/W}.
  1. R_{conv,o}:
R_{conv,o}=\frac{1}{230\cdot(2\pi\cdot0{,}0354\cdot2{,}0)}=\frac{1}{102{,}33}\approx0{,}00977\\ \mathrm{K/W}.
Somando:
R_{\text{tot}}\approx0{,}00318+1{,}0537+0{,}00977=1{,}06665\\ \mathrm{K/W}.
Observação didática: a resistência dominante é a do isolante (condução) — faz sentido porque k_{\text{iso}} é pequeno; as resistências convectivas são pequenas comparativamente.

Passo 5

Cálculo final de T_{\text{amb}} usando o balanço e interpretação do sinal.
Usando \dot{Q}\approx88{,}5\\ \mathrm{W} (potência transferida do líquido para o ambiente) e R_{\text{tot}}\approx1{,}06665\\ \mathrm{K/W}:
\Delta T = \dot{Q}\,R_{\text{tot}}\approx88{,}5\cdot1{,}06665\approx94{,}34\\ \mathrm{K}.
T_{\text{amb}}=T_{\infty1}-\Delta T=96{,}25-94{,}34\approx1{,}91^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: para que o fluido esfrie de 97{,}0^\circ\mathrm{C} para 95{,}5^\circ\mathrm{C} com a isolação indicada e os coeficientes de convecção dados, a temperatura do ar ambiente (distante do tubo) teria de ser aproximadamente 1{,}9^\circ\mathrm{C}. Isso é consistente com a resistência relativamente grande do isolante: só uma diferença grande de temperatura entre fluido e ambiente permite a transferência de cerca de 88{,}5\\ \mathrm{W}.

Resposta

(a) \Delta h = -3795\\ \mathrm{J/kg}; \dot{Q}=\dot{m}\Delta h \approx -88{,}5\\ \mathrm{W}
(b) T_{\text{amb}}\approx1{,}91^\circ\mathrm{C}

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