Em. cada caso, calcule a integral tripla iteroda dada:
integral0^pi / 2 integral0^1 integralpi / 6^pi / 4 2^x sen z cotg y d y d x d z ;

Passo 1

Neste problema vamos calcular a integral tripla integral0^pi/2integral0^1integralpi/6^pi/42^xsin zcot y,dy,dx,dz. O conteúdo é integrais múltiplas e vamos usar a propriedade de separação de variáveis porque o integrando é produto de funções que dependem de uma única variável

Passo 2

Como 2^x, sin z e cot y dependem de variáveis diferentes, podemos separar a integral em três integrais simples:
integral0^pi/2integral0^1integralpi/6^pi/42^xsin zcot y,dy,dx,dz =l(integralpi/6^pi/4cot y,dyr),l(integral0^12^x,dxr),l(integral0^pi/2sin z,dzr)

Passo 3

Primeiro, calculemos integral0^pi/2sin z,dz. Sabemos que a antiderivada de sin z é -cos z. Então:
integral0^pi/2sin z,dz =[-cos z]0^pi/2 =-cosl(tfracpi2r)+cos(0) =1

Passo 4

Agora, integral0^12^x,dx. Para a função exponencial a antiderivada de 2^x é tfrac2^xln2. Assim:
integral0^12^x,dx =2^xln2|0^1 =2-1ln2 =1ln2

Passo 5

Em seguida, integralpi/6^pi/4cot y,dy. Como a antiderivada de cot y é ln|sin y|, temos:
integralpi/6^pi/4cot y,dy =lnl|sin yr||pi/6^pi/4 =lnl(sin(pi/4)sin(pi/6)r) =lnl(tfracraiz22tfrac12r) =ln(raiz2) =tfrac12ln2

Passo 6

Finalmente, multiplicamos os três resultados obtidos:
1times1ln2times12ln2 =12

Resposta

12

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