(FAG - 2018/II) Uma chapa quadrada, feita de um material encontrado no planeta Marte, tem área \mathrm{A}=100,0 \mathrm{~cm}^{2} \mathrm{a} uma temperatura de 100 { }^{\circ} \mathrm{C}. A uma temperatura de 0,0^{\circ} \mathrm{C}, qual será a área da chapa em cm2?
Considere que o coeficiente de expansão linear do material \alpha= 2,0 \times 10^{-3} /{ }^{\circ} \mathrm{C}.
\bigcirc (A) 74,0
\bigcirc (B) 64,0
\bigcirc (C) 54,0
\bigcirc (D) 44,0
\bigcirc (E) 34,0

Passo 1

O enunciado dá uma chapa quadrada cuja área e temperatura são conhecidas e pede a área da chapa a outra temperatura. Dados fornecidos:
\mathrm{A}=100{,}0\\ \mathrm{cm}^2 (área da chapa à temperatura de 100^\circ\mathrm{C}); temperatura final 0{,}0^\circ\mathrm{C}; coeficiente de expansão linear \alpha=2{,}0\times10^{-3}/^\circ\mathrm{C}. A pergunta é: qual será a área da chapa em \mathrm{cm}^2 quando a temperatura for 0{,}0^\circ\mathrm{C}?

Passo 2

Entendendo o que significa o coeficiente de expansão linear e como ele afeta comprimentos: o coeficiente \alpha diz a variação relativa do comprimento por grau de temperatura. A fórmula que relaciona um comprimento inicial L_1 à temperatura T_1 e o comprimento L_2 à temperatura T_2 é
L_2 = L_1\bigl(1 + \alpha\,(T_2-T_1)\bigr).
Nesta fórmula \alpha é o coeficiente de expansão linear, T_2-T_1 é a variação de temperatura (em °C) e L_1,L_2 são comprimentos correspondentes às temperaturas T_1,T_2. Vamos aplicar isso às arestas do quadrado, porque a área é o quadrado do lado.

Passo 3

Calcular o comprimento do lado do quadrado à temperatura inicial T_1=100^\circ\mathrm{C}. Como a chapa é quadrada,
L_1 = \sqrt{\mathrm{A}} = \sqrt{100{,}0} = 10{,}0\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calcular a variação de temperatura:
\Delta T = T_2-T_1 = 0{,}0^\circ\mathrm{C} - 100{,}0^\circ\mathrm{C} = -100{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular o novo comprimento do lado usando a fórmula do Passo 2:
L_2 = 10{,}0\bigl(1 + 2{,}0\times10^{-3}\cdot(-100{,}0)\bigr).
Fazendo as contas dentro do parêntese:
2{,}0\times10^{-3}\cdot(-100{,}0) = -0{,}200,
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L_2 = 10{,}0\cdot(1 - 0{,}200) = 10{,}0\cdot0{,}800 = 8{,}0\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

A área à temperatura 0{,}0^\circ\mathrm{C} é o quadrado de L_2:
\mathrm{A}_2 = L_2^2 = (8{,}0)^2 = 64{,}0\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 7

Observação extra (útil para a prova): poderia ter-se usado diretamente a relação entre áreas. Se L(T)=L_1(1+\alpha\Delta T), então
\mathrm{A}(T)=L(T)^2=\mathrm{A}_1\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr)^2=\mathrm{A}_1\bigl(1+2\alpha\Delta T+\alpha^2\Delta T^2\bigr).
Aqui \Delta T=-100{,}0 e \alpha^2\Delta T^2 não é desprezível (porque \alpha\Delta T é da ordem de 0{,}2), então usar somente 1+2\alpha\Delta T daria um erro. Aplicando a fórmula exata:
\mathrm{A}_2=100{,}0\bigl(1+2\cdot2{,}0\times10^{-3}\cdot(-100{,}0)+(2{,}0\times10^{-3})^2\cdot(100{,}0)^2\bigr)
=100{,}0\bigl(1-0{,}400+0{,}040\bigr)=100{,}0\cdot0{,}640=64{,}0\\ \mathrm{cm}^2,
confirmando o resultado do cálculo via lado.

Resposta

(B) 64{,}0

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