4- Uma onda eletromagnética, no espectro do visível e monocromática se propaga em um meio com índice de refração 1,34 atinge uma interface com um segundo meio com índice igual a 1,65 , fazendo um ângulo de 50^{\circ}. O componente refratado da onda atinge uma segunda interface com um terceiro meio (ar)de índice de refração igual a 1,00029. Quais são os ângulos de incidência e refratado nas duas interfaces?

Passo 1

Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente para não nos perder):
n_1 = 1,34
n_2 = 1,65
n_3 = 1,00029
O raio parte do meio 1 e atinge a primeira interface com ângulo de incidência
\theta_{1i} = 50^\circ.
O que o exercício pergunta:
  • Qual o ângulo de incidência e o ângulo de refração na primeira interface (entre n_1 e n_2)?
  • Qual o ângulo de incidência e o ângulo de refração na segunda interface (entre n_2 e n_3)?

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicadinha e sem pular etapas):
A lei de Snell relaciona os índices de refração e os senos dos ângulos medidos em relação à normal da superfície. Ela diz:
n_\text{incidente}\,\sin\theta_\text{incidente} = n_\text{refratado}\,\sin\theta_\text{refratado}.
Aqui cada variável significa:
  • n_\text{incidente}: índice do meio de onde vem o raio (número sem dimensão).
  • \theta_\text{incidente}: ângulo entre o raio incidente e a normal à superfície, em graus.
  • n_\text{refratado}: índice do meio para onde o raio vai.
  • \theta_\text{refratado}: ângulo entre o raio refratado e a normal.
Observação essencial para a segunda interface: o ângulo com que o raio atinge a segunda interface (incidência na 2ª interface) é exatamente o mesmo que o ângulo de refração obtido na primeira interface, porque o raio se propaga em linha reta dentro do meio 2 até encontrar a segunda superfície. Ou seja,
\theta_{2i} = \theta_{1t},
onde uso t para o raio transmitido/refratado.
Além disso, quando o raio vai de um meio de índice maior para um de índice menor, existe a possibilidade de acontecer reflexão interna total (RIT). Isso acontece se o ângulo de incidência no interior exceder o ângulo crítico \theta_c, dado por:
\theta_c = \arcsin\!\left(\dfrac{n_\text{menor}}{n_\text{maior}}\right).
Se \theta_{2i}>\theta_c então não há raio refratado no terceiro meio (só reflexão).

Passo 3

Calcular o ângulo refratado na primeira interface (entre n_1=1,34 e n_2=1,65), aplicando Snell:
n_1\sin\theta_{1i} = n_2\sin\theta_{1t}.
Substituindo os dados:
1,34\cdot\sin 50^\circ = 1,65\cdot\sin\theta_{1t}.
Isolando \sin\theta_{1t}:
\sin\theta_{1t} = \dfrac{1,34}{1,65}\,\sin 50^\circ.
Agora calculamos numericamente. Usando \sin 50^\circ \approx 0,7660444 (valor trigonométrico conhecido):
\sin\theta_{1t} \approx \dfrac{1,34}{1,65}\cdot 0,7660444.
Calcule a razão:
\dfrac{1,34}{1,65} \approx 0,8121212.
Multiplicando:
\sin\theta_{1t} \approx 0,8121212\cdot 0,7660444 \approx 0,62212.
Agora obtemos o ângulo:
\theta_{1t} = \arcsin(0,62212) \approx 38,41^\circ.
Portanto, na primeira interface:
  • ângulo de incidência \theta_{1i} = 50^\circ (dado),
  • ângulo de refração \theta_{1t} \approx 38,41^\circ.

Passo 4

Ângulo de incidência na segunda interface:
Como o raio segue em linha reta no meio 2, o ângulo com que ele atinge a segunda superfície (incidência na interface n_2 n_3) é igual ao ângulo de refração que encontramos na primeira interface. Logo:
\theta_{2i} = \theta_{1t} \approx 38,41^\circ.

Passo 5

Verificar se há refração na segunda interface (checar possibilidade de reflexão interna total):
Calcule o ângulo crítico para a interface n_2 (maior) para n_3 (menor):
\theta_c = \arcsin\!\left(\dfrac{n_3}{n_2}\right) = \arcsin\!\left(\dfrac{1,00029}{1,65}\right).
Compute a razão:
\dfrac{1,00029}{1,65} \approx 0,60624.
Agora o arco-seno:
\theta_c = \arcsin(0,60624) \approx 37,33^\circ.
Comparação:
\theta_{2i} \approx 38,41^\circ \quad\text{e}\quad \theta_c \approx 37,33^\circ.
Como \theta_{2i}>\theta_c, temos reflexão interna total na segunda interface. Isso significa que NÃO existe raio refratado entrando no meio 3 (ar); o raio é totalmente refletido de volta para o meio 2.

Passo 6

Resumo físico e observação final:
  • Primeira interface: refração normal (do menor para o maior índice) aconteceu, com \theta_{1t} calculado.
  • Segunda interface: como o raio tenta passar de n_2=1,65 para n_3=1,00029 e o ângulo interno excede o ângulo crítico, ocorre reflexão interna total — portanto não há ângulo refratado no ar. Em caso que precisasse do ângulo de reflexão na segunda interface (ângulo com a normal da luz refletida), ele seria igual ao ângulo de incidência: \theta_{2r}=\theta_{2i}\approx 38,41^\circ.

Resposta

Primeira interface: ângulo de incidência \theta_{1i}=50^\circ; ângulo de refração \theta_{1t}\approx 38,41^\circ.
Segunda interface: ângulo de incidência \theta_{2i}\approx 38,41^\circ; não há ângulo refratado no meio 3 (ocorre reflexão interna total, pois \theta_{2i}>\theta_c\approx 37,33^\circ).

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