Em uma fáhrica, colhida uma amostra de certa pega, obtiveram-se as seguintes medidas para os diffmetros:
10
11
11
11
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
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14
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15
15
15
16
16
Construir um intervalo de confiança para a média usando um nivel de significäncia igual a
,
| 10 | 11 | 11 | 11 | 12 | 12 | 12 | 12 | 13 | 13 |
| 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 |
| 14 | 14 | 14 | 14 | 14 | 15 | 15 | 15 | 16 | 16 |
Passo 1
O que o problema pede: construir um intervalo de confiança para a média da população, usando nível de significância igual a
.
O que foi dado (dados da amostra): as observações coletadas são, em ordem fornecida:
Informações úteis extraídas imediatamente:
Passo 2
Organizar os dados por valores e calcular a média amostral
.
Contagem por valor (peguei esses números diretamente da tabela fornecida):
Somatório das observações
: calculei somando cada valor multiplicado pela sua frequência:
Como
, a média amostral é
(Interpretação rápida: a média das medidas da amostra é aproximadamente
.)
Passo 3
Calcular a variância amostral (não-viesada)
e o desvio-padrão amostral
. Vou explicar a fórmula e cada passo.
Fórmula da variância amostral (não-viesada):
Essa fórmula dá a “média” dos quadrados dos desvios em relação à média, ajustada por
para tornar o estimador não-viesado. Uma forma prática de calcular usa somatório dos quadrados:
Aqui
é o somatório dos quadrados das observações.
Primeiro calculei
(peguei os quadrados dos valores da tabela e multipliquei por suas frequências):
Agora aplico a fórmula:
Faço uma simplificação algébrica para ficar exato: note que
Portanto
Então
E o desvio-padrão amostral é
Observação didática:
mede a dispersão dos dados em torno da média da amostra. Usamos
no denominador para corrigir o viés na estimativa da variância populacional quando usamos
em vez da média verdadeira.
Passo 4
Escolher a distribuição para montar o intervalo de confiança e justificar.
Porque a variância populacional é desconhecida (não foi dada) e
não é muito grande (temos
, borderline), a forma correta e clássica é usar a distribuição t de Student com
graus de liberdade. Assim o intervalo de confiança de
para a média
é:
onde
é o quantil da distribuição t com
graus de liberdade.
Aqui
e
. Consultando a tabela da t (ou software), o valor crítico é aproximadamente
(Explicação curta:
é o valor tal que a área à esquerda é
, equivalente a área nas duas caudas totalizando
.)
Passo 5
Calcular o erro padrão da média (standard error) e a margem de erro.
Erro padrão da média:
Agora a margem de erro (metade da largura do intervalo) é
Passo 6
Montar o intervalo de confiança e interpretar.
O intervalo de confiança de
para a média é
Calculando as extremidades:
Interpretação didática e amigável: com nível de confiança
(isto é,
), podemos dizer que o procedimento usado produz um intervalo que tem
de chance de conter a verdadeira média populacional. Numericamente, a média verdadeira da população está plausivelmente entre aproximadamente
e
.