Em uma fáhrica, colhida uma amostra de certa pega, obtiveram-se as seguintes medidas para os diffmetros:
10 11 11 11 12 12 12 12 13 13
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13
14 14 14 14 14 15 15 15 16 16
Construir um intervalo de confiança para a média usando um nivel de significäncia igual a 5 \%,

Passo 1

O que o problema pede: construir um intervalo de confiança para a média da população, usando nível de significância igual a 5\%.
O que foi dado (dados da amostra): as observações coletadas são, em ordem fornecida:
10,\,11,\,11,\,11,\,12,\,12,\,12,\,12,\,13,\,13,
13,\,13,\,13,\,13,\,13,\,13,\,13,\,13,\,13,\,13,
14,\,14,\,14,\,14,\,14,\,15,\,15,\,15,\,16,\,16.
Informações úteis extraídas imediatamente:
\text{tamanho da amostra } n = 30,
\text{nível de significância } \alpha = 0{,}05 \;\Rightarrow\; \text{confiança } 1-\alpha = 0{,}95.íâç

Passo 2

Organizar os dados por valores e calcular a média amostral \bar{x}.
Contagem por valor (peguei esses números diretamente da tabela fornecida):
\begin{array}{c|c} \text{Valor } x & \text{Frequência } f\\hline 10 & 1\\\\ 11 & 3\\\\ 12 & 4\\\\ 13 & 12\\\\ 14 & 5\\\\ 15 & 3\\\\ 16 & 2 \end{array}ê
Somatório das observações \sum x_i: calculei somando cada valor multiplicado pela sua frequência:
\sum x_i = 10\cdot1 + 11\cdot3 + 12\cdot4 + 13\cdot12 + 14\cdot5 + 15\cdot3 + 16\cdot2 = 394.
Como n=30, a média amostral é
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i = \frac{394}{30} = 13{,}133\overline{3}.
(Interpretação rápida: a média das medidas da amostra é aproximadamente 13{,}133.)

Passo 3

Calcular a variância amostral (não-viesada) s^2 e o desvio-padrão amostral s. Vou explicar a fórmula e cada passo.
Fórmula da variância amostral (não-viesada):
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Essa fórmula dá a “média” dos quadrados dos desvios em relação à média, ajustada por n-1 para tornar o estimador não-viesado. Uma forma prática de calcular usa somatório dos quadrados:
s^{2}=\frac{\sum x_i^{2} - n\bar{x}^{2}}{n-1}.
Aqui \sum x_i^{2} é o somatório dos quadrados das observações.
Primeiro calculei \sum x_i^{2} (peguei os quadrados dos valores da tabela e multipliquei por suas frequências):
\sum x_i^{2} = 10^{2}\cdot1 + 11^{2}\cdot3 + 12^{2}\cdot4 + 13^{2}\cdot12 + 14^{2}\cdot5 + 15^{2}\cdot3 + 16^{2}\cdot2 = 5234.
Agora aplico a fórmula:
\sum x_i^{2} - n\bar{x}^{2} = 5234 - 30\left(\frac{394}{30}\right)^{2}.
Faço uma simplificação algébrica para ficar exato: note que
30\left(\frac{394}{30}\right)^{2}=\frac{394^{2}}{30}=\frac{155236}{30}.
Portanto
\sum x_i^{2} - n\bar{x}^{2} = 5234 - \frac{155236}{30} = \frac{157020-155236}{30} = \frac{1784}{30} = \frac{892}{15}.
Então
s^{2}=\frac{1}{n-1}\left(\sum x_i^{2} - n\bar{x}^{2}\right)=\frac{892/15}{29}=\frac{892}{435}\approx 2{,}0505747.
E o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\frac{892}{435}}\approx 1{,}4323.
Observação didática: s mede a dispersão dos dados em torno da média da amostra. Usamos n-1 no denominador para corrigir o viés na estimativa da variância populacional quando usamos \bar{x} em vez da média verdadeira.

Passo 4

Escolher a distribuição para montar o intervalo de confiança e justificar.
Porque a variância populacional é desconhecida (não foi dada) e n não é muito grande (temos n=30, borderline), a forma correta e clássica é usar a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. Assim o intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para a média \mu é:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade.
Aqui n-1=29 e \alpha/2=0{,}025. Consultando a tabela da t (ou software), o valor crítico é aproximadamente
t_{0{,}975,\,29}\approx 2{,}045.
(Explicação curta: t_{0{,}975,\,29} é o valor tal que a área à esquerda é 0{,}975, equivalente a área nas duas caudas totalizando 0{,}05.)

Passo 5

Calcular o erro padrão da média (standard error) e a margem de erro.
Erro padrão da média:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{892/435}}{\sqrt{30}}=\sqrt{\frac{892}{435\cdot 30}}=\sqrt{\frac{892}{13050}}\approx 0{,}26146.
Agora a margem de erro (metade da largura do intervalo) é
E = t_{0{,}975,29}\cdot \text{SE}\approx 2{,}045\cdot 0{,}26146 \approx 0{,}53468\approx 0{,}535.

Passo 6

Montar o intervalo de confiança e interpretar.
O intervalo de confiança de 95\% para a média é
\bar{x}\pm E = 13{,}133\overline{3} \pm 0{,}53468.
Calculando as extremidades:
\text{limite inferior } = 13{,}133\overline{3} - 0{,}53468 \approx 12{,}5986,
\text{limite superior } = 13{,}133\overline{3} + 0{,}53468 \approx 13{,}6680.
Interpretação didática e amigável: com nível de confiança 95\% (isto é, \alpha=0{,}05), podemos dizer que o procedimento usado produz um intervalo que tem 95\% de chance de conter a verdadeira média populacional. Numericamente, a média verdadeira da população está plausivelmente entre aproximadamente 12{,}599 e 13{,}668.

Resposta

[12{,}599;\;13{,}668]

Exercícios relacionados