Para uma faixa elástica de comprimento L, em temperatura T e sob uma tensão J, verifica-se que
\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)_{L}=\frac{a L}{L_{0}}\left[1-\left(\frac{L_{0}}{L}\right)^{3}\right]
e
\left(\frac{\partial J}{\partial L}\right)_{T}=\frac{a T}{L_{0}}\left[1+2\left(\frac{L_{0}}{L}\right)^{3}\right],
em que L_{0} é o comprimento da faixa não esticada (que é independente da temperatura) e a é uma constante.
(a) Obtenha a equação de estado J(T, L) desse sistema, e mostre que ela pode ser escrita na forma J(T, L)=T g(L), sendo g(L) uma função apenas de L.
(b) O trabalho realizado sobre uma faixa quando seu comprimento aumenta de uma quantidade infinitesimal d L é J d L, de modo que para esse sistema a primeira lei da termodinâmica toma a forma
d U=T d S+J d L
A partir da energia livre de Helmholtz, F(T, L)=U-T S, mostre que
S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{L} \quad \text { e } \quad J=\left(\frac{\partial F}{\partial L}\right)_{T}
Em seguida, demonstre a relação de Maxwell
\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)_{T}=-\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)_{L}
(c) Combine os resultados dos itens anteriores para mostrar que
\left(\frac{\partial U}{\partial L}\right)_{T}=0
e que portanto a energia interna é função apenas de T, ou seja, para qualquer mudança de estado é possível escrever
d U=C_{L} d T
em que C_{L} é a capacidade térmica da faixa a comprimento constante.
(d) A partir da primeira lei da termodinâmica, mostre que
d S=\frac{C_{L}}{T} d T-g(L) d L
e a partir daí que a variação de entropia da faixa entre dois estados de equilíbrio caracterizados por \left(T_{1}, L_{1}\right) e \left(T_{2}, L_{2}\right) é dada por
\Delta S=C_{L} \ln \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)-a L_{0}\left[h\left(\frac{L_{2}}{L_{0}}\right)-h\left(\frac{L_{1}}{L_{0}}\right)\right],
em que
h(x)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}
e se supõe que C_{L} seja constante.

Passo 1

O enunciado dá duas derivadas parciais de J(T,L):
\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)_{L}=\frac{a L}{L_{0}}\left[1-\left(\frac{L_{0}}{L}\right)^{3}\right]
\left(\frac{\partial J}{\partial L}\right)_{T}=\frac{a T}{L_{0}}\left[1+2\left(\frac{L_{0}}{L}\right)^{3}\right]
As constantes/quantidades fornecidas são: L_{0} (comprimento natural, independente de T) e a (constante). O enunciado pede:
(a) Encontrar a equação de estado J(T,L) e mostrar que pode ser escrita como J(T,L)=T\,g(L), com g(L) função só de L.
(b) A partir da primeira lei na forma dU=T\,dS+J\,dL e da definição da energia livre de Helmholtz F=U-TS, mostrar que
S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{L},\qquad J=\left(\frac{\partial F}{\partial L}\right)_{T},
e deduzir a relação de Maxwell
\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)_{T}=-\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)_{L}.
(c) Usando os resultados anteriores, mostrar que
\left(\frac{\partial U}{\partial L}\right)_{T}=0
e concluir que U depende só de T, então dU=C_{L}\,dT.
(d) A partir da primeira lei, obter
dS=\frac{C_{L}}{T}\,dT-g(L)\,dL
e integrar para obter a variação de entropia entre (T_{1},L_{1}) e (T_{2},L_{2}), supondo C_{L} constante, chegando em
\Delta S=C_{L}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)-a L_{0}\Bigl[h\!\bigl(\tfrac{L_{2}}{L_{0}}\bigr)-h\!\bigl(\tfrac{L_{1}}{L_{0}}\bigr)\Bigr]
com h(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{1}{x}.

Passo 2

Primeiro verifico compatibilidade (condição de integrabilidade) das derivadas mistas: para existir J(T,L) com as derivadas dadas, deve valer
\frac{\partial}{\partial L}\!\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)_{L} = \frac{\partial}{\partial T}\!\left(\frac{\partial J}{\partial L}\right)_{T}.
Calculo o lado esquerdo usando a expressão dada para \left(\dfrac{\partial J}{\partial T}\right)_{L}. É conveniente reescrever:
\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)_{L}=\frac{a}{L_{0}}\Bigl(L-\frac{L_{0}^{3}}{L^{2}}\Bigr).
Agora derivando em relação a L:
\frac{\partial}{\partial L}\!\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)_{L} =\frac{a}{L_{0}}\Bigl(1 + 2\frac{L_{0}^{3}}{L^{3}}\Bigr).
O lado direito é a derivada em relação a T da expressão dada para \left(\dfrac{\partial J}{\partial L}\right)_{T}:
\frac{\partial}{\partial T}\!\left(\frac{\partial J}{\partial L}\right)_{T} =\frac{a}{L_{0}}\Bigl(1 + 2\frac{L_{0}^{3}}{L^{3}}\Bigr).
Os dois lados coincidem, logo as derivadas são compatíveis e existe uma função J(T,L) que produz essas derivadas parciais. (Isto garante que podemos integrar consistentemente.)

Passo 3

Integro \left(\dfrac{\partial J}{\partial T}\right)_{L} em relação a T, mantendo L fixo. Como \left(\dfrac{\partial J}{\partial T}\right)_{L} não depende de T, a integral é imediata:
J(T,L)=T\cdot\frac{a}{L_{0}}\Bigl(L-\frac{L_{0}^{3}}{L^{2}}\Bigr)+\varphi(L),
onde \varphi(L) é função arbitrária de L (constante de integração em relação a T). Escrevendo compactamente,
J(T,L)=T\,g(L)+\varphi(L) \quad\text{com}\quad g(L)=\frac{a}{L_{0}}\Bigl(L-\frac{L_{0}^{3}}{L^{2}}\Bigr).
Agora imposto que \left(\dfrac{\partial J}{\partial L}\right)_{T} coincida com a expressão dada. Calculo \left(\dfrac{\partial J}{\partial L}\right)_{T} a partir da forma obtida:
\left(\frac{\partial J}{\partial L}\right)_{T}=T\,g'(L)+\varphi'(L).
Comparo com a expressão fornecida:
\frac{a T}{L_{0}}\Bigl(1+2\Bigl(\frac{L_{0}}{L}\Bigr)^{3}\Bigr)=T\,g'(L)+\varphi'(L).
Como isso vale para todo T, comparo os termos proporcionais a T e os independentes de T. Obtenho
g'(L)=\frac{a}{L_{0}}\Bigl(1+2\frac{L_{0}^{3}}{L^{3}}\Bigr), \qquad \varphi'(L)=0.
Da segunda igualdade \varphi'(L)=0 segue que \varphi(L) é constante. Podemos escolher a constante de referência da tensão dizendo que J(0,L)=0 (tensão nula a T=0 é uma escolha física e conveniente); isso fixa \varphi=0. Assim podemos escrever
J(T,L)=T\,g(L)
com
g(L)=\frac{a}{L_{0}}\Bigl(L-\frac{L_{0}^{3}}{L^{2}}\Bigr).
Portanto a equação de estado tem a forma exigida.

Passo 4

Agora demonstro as fórmulas relacionadas a F. Pela definição F=U-TS tomo diferencial total:
dF=dU-T\,dS-S\,dT.
Usando a primeira lei dada na forma dU=T\,dS+J\,dL substituo dU:
dF=(T\,dS+J\,dL)-T\,dS-S\,dT=J\,dL-S\,dT.
Reescrevendo:
dF=-S\,dT+J\,dL.
Como F=F(T,L), as derivadas parciais identificam-se diretamente:
S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{L},\qquad J=\left(\frac{\partial F}{\partial L}\right)_{T}.
Aplicando agora a igualdade das derivadas mistas de F,
\frac{\partial}{\partial L}\!\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{L} = \frac{\partial}{\partial T}\!\left(\frac{\partial F}{\partial L}\right)_{T},
e usando as equalidades acima, obtenho a relação de Maxwell:
\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)_{T}=-\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)_{L}.

Passo 5

Uso a expressão para \left(\dfrac{\partial U}{\partial L}\right)_{T}. Pela primeira lei escrita em diferenciais,
dU=T\,dS+J\,dL,
então a derivada parcial de U em relação a L a T fixo é
\left(\frac{\partial U}{\partial L}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)_{T} + J.
Substituo a relação de Maxwell \left(\dfrac{\partial S}{\partial L}\right)_{T}=-\left(\dfrac{\partial J}{\partial T}\right)_{L}:
\left(\frac{\partial U}{\partial L}\right)_{T} = -T\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)_{L} + J.
Mas já mostramos na Parte (a) que J(T,L)=T\,g(L), logo
\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)_{L}=g(L), \qquad J=T\,g(L).
Substituindo:
\left(\frac{\partial U}{\partial L}\right)_{T} = -T\,g(L) + T\,g(L)=0.
Portanto \left(\dfrac{\partial U}{\partial L}\right)_{T}=0, ou seja, a energia interna não depende de L quando T é fixo. Conclui-se que U é função apenas de T. Assim para variações de estado
dU=\left(\frac{dU}{dT}\right)_{L}dT\equiv C_{L}\,dT,
onde C_{L} é a capacidade térmica à extensão constante.

Passo 6

Com dU=C_{L}\,dT e a primeira lei dU=T\,dS+J\,dL, rearranjo para obter dS:
T\,dS = dU - J\,dL = C_{L}\,dT - J\,dL.
Dividindo por T:
dS=\frac{C_{L}}{T}\,dT - \frac{J}{T}\,dL.
Como J(T,L)=T\,g(L), temos \dfrac{J}{T}=g(L). Assim
dS=\frac{C_{L}}{T}\,dT - g(L)\,dL,
o que era pedido.

Passo 7

Agora integro dS entre (T_{1},L_{1}) e (T_{2},L_{2}). A integral de linha separa-se porque o primeiro termo depende só de T e o segundo só de L:
\Delta S=\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{C_{L}}{T}\,dT - \int_{L_{1}}^{L_{2}} g(L)\,dL.
Se C_{L} é constante, a primeira integral é
\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{C_{L}}{T}\,dT = C_{L}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right).
Agora preciso calcular \displaystyle\int g(L)\,dL. Lembro que
g(L)=\frac{a}{L_{0}}\Bigl(L-\frac{L_{0}^{3}}{L^{2}}\Bigr).
Integro termo a termo:
\int g(L)\,dL=\frac{a}{L_{0}}\Bigl(\int L\,dL - L_{0}^{3}\int L^{-2}\,dL\Bigr) =\frac{a}{L_{0}}\Bigl(\frac{L^{2}}{2}+\frac{L_{0}^{3}}{L}\Bigr)+\text{const}.
Reescrevendo com x=\dfrac{L}{L_{0}},
\frac{a}{L_{0}}\Bigl(\frac{L^{2}}{2}+\frac{L_{0}^{3}}{L}\Bigr) = aL_{0}\Bigl(\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}\Bigr) = aL_{0}\,h(x),
onde defini h(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{1}{x}. Portanto
\int_{L_{1}}^{L_{2}} g(L)\,dL = aL_{0}\Bigl[h\!\bigl(\tfrac{L_{2}}{L_{0}}\bigr)-h\!\bigl(\tfrac{L_{1}}{L_{0}}\bigr)\Bigr].
Juntando tudo:
\Delta S = C_{L}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) - aL_{0}\Bigl[h\!\bigl(\tfrac{L_{2}}{L_{0}}\bigr)-h\!\bigl(\tfrac{L_{1}}{L_{0}}\bigr)\Bigr],
com h(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{1}{x}, como pedido.

Resposta

(a) J(T,L)=T\,g(L) com g(L)=\dfrac{a}{L_{0}}\!\Bigl(L-\dfrac{L_{0}^{3}}{L^{2}}\Bigr).\n
(b) S=-\left(\dfrac{\partial F}{\partial T}\right)_{L} e J=\left(\dfrac{\partial F}{\partial L}\right)_{T}. A relação de Maxwell é \left(\dfrac{\partial S}{\partial L}\right)_{T}=-\left(\dfrac{\partial J}{\partial T}\right)_{L}.\n
(c) \left(\dfrac{\partial U}{\partial L}\right)_{T}=0, logo U=U(T) e dU=C_{L}\,dT.\n
(d) dS=\dfrac{C_{L}}{T}\,dT-g(L)\,dL e
\Delta S=C_{L}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)-aL_{0}\Bigl[h\!\bigl(\tfrac{L_{2}}{L_{0}}\bigr)-h\!\bigl(\tfrac{L_{1}}{L_{0}}\bigr)\Bigr],
com h(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{1}{x}.

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