Para uma faixa elástica de comprimento
, em temperatura
e sob uma tensão
, verifica-se que
e
em que
é o comprimento da faixa não esticada (que é independente da temperatura) e
é uma constante.
(a) Obtenha a equação de estado
desse sistema, e mostre que ela pode ser escrita na forma
, sendo
uma função apenas de
.
(b) O trabalho realizado sobre uma faixa quando seu comprimento aumenta de uma quantidade infinitesimal
é
, de modo que para esse sistema a primeira lei da termodinâmica toma a forma
A partir da energia livre de Helmholtz,
, mostre que
Em seguida, demonstre a relação de Maxwell
(c) Combine os resultados dos itens anteriores para mostrar que
e que portanto a energia interna é função apenas de
, ou seja, para qualquer mudança de estado é possível escrever
em que
é a capacidade térmica da faixa a comprimento constante.
(d) A partir da primeira lei da termodinâmica, mostre que
e a partir daí que a variação de entropia da faixa entre dois estados de equilíbrio caracterizados por
e
é dada por
em que
e se supõe que
seja constante.
(a) Obtenha a equação de estado
(b) O trabalho realizado sobre uma faixa quando seu comprimento aumenta de uma quantidade infinitesimal
(d) A partir da primeira lei da termodinâmica, mostre que
Passo 1
O enunciado dá duas derivadas parciais de
:
As constantes/quantidades fornecidas são:
(comprimento natural, independente de
) e
(constante). O enunciado pede:
(a) Encontrar a equação de estado
e mostrar que pode ser escrita como
, com
função só de
.
(b) A partir da primeira lei na forma
e da definição da energia livre de Helmholtz
, mostrar que
e deduzir a relação de Maxwell
(c) Usando os resultados anteriores, mostrar que
e concluir que
depende só de
, então
.
(d) A partir da primeira lei, obter
e integrar para obter a variação de entropia entre
e
, supondo
constante, chegando em
com
.
Passo 2
Primeiro verifico compatibilidade (condição de integrabilidade) das derivadas mistas: para existir
com as derivadas dadas, deve valer
Calculo o lado esquerdo usando a expressão dada para
. É conveniente reescrever:
Agora derivando em relação a
:
O lado direito é a derivada em relação a
da expressão dada para
:
Os dois lados coincidem, logo as derivadas são compatíveis e existe uma função
que produz essas derivadas parciais. (Isto garante que podemos integrar consistentemente.)
Passo 3
Integro
em relação a
, mantendo
fixo. Como
não depende de
, a integral é imediata:
onde
é função arbitrária de
(constante de integração em relação a
). Escrevendo compactamente,
Agora imposto que
coincida com a expressão dada. Calculo
a partir da forma obtida:
Comparo com a expressão fornecida:
Como isso vale para todo
, comparo os termos proporcionais a
e os independentes de
. Obtenho
Da segunda igualdade
segue que
é constante. Podemos escolher a constante de referência da tensão dizendo que
(tensão nula a
é uma escolha física e conveniente); isso fixa
. Assim podemos escrever
com
Portanto a equação de estado tem a forma exigida.
Passo 4
Agora demonstro as fórmulas relacionadas a
. Pela definição
tomo diferencial total:
Usando a primeira lei dada na forma
substituo
:
Reescrevendo:
Como
, as derivadas parciais identificam-se diretamente:
Aplicando agora a igualdade das derivadas mistas de
,
e usando as equalidades acima, obtenho a relação de Maxwell:
Passo 5
Uso a expressão para
. Pela primeira lei escrita em diferenciais,
então a derivada parcial de
em relação a
a
fixo é
Substituo a relação de Maxwell
:
Mas já mostramos na Parte (a) que
, logo
Substituindo:
Portanto
, ou seja, a energia interna não depende de
quando
é fixo. Conclui-se que
é função apenas de
. Assim para variações de estado
onde
é a capacidade térmica à extensão constante.
Passo 6
Com
e a primeira lei
, rearranjo para obter
:
Dividindo por
:
Como
, temos
. Assim
o que era pedido.
Passo 7
Agora integro
entre
e
. A integral de linha separa-se porque o primeiro termo depende só de
e o segundo só de
:
Se
é constante, a primeira integral é
Agora preciso calcular
. Lembro que
Integro termo a termo:
Reescrevendo com
,
onde defini
. Portanto
Juntando tudo:
com
, como pedido.
Resposta
(a)
com
.\n
(b) e
. A relação de Maxwell é
.\n
(c) , logo
e
.\n
(d) e
(b)
(c)
(d)
com
.