Um pequeno sistema termodinâmico, inicialmente a uma temperatura
, é colocado em contato com um reservatório térmico, a uma temperatura
, sendo permitida a troca de calor entre ambos. Após um certo tempo, o “universo”, formado pelo sistema termodinâmico mais o reservatório térmico, atinge o equilíbrio térmico, à temperatura
. Até qual temperatura inicial
o sistema pequeno experimenta, comparando o início e o final do processo, uma variação de entropia maior do que a variação de entropia do universo?
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá um sistema pequeno com temperatura inicial
que é posto em contato térmico com um reservatório à temperatura
. Troca-se calor até que o conjunto (sistema + reservatório) atinja equilíbrio térmico à temperatura
.
A pergunta é: até qual valor de (entre as alternativas dadas) o sistema pequeno tem, entre o início e o fim, uma variação de entropia maior do que a variação de entropia do universo (onde “universo” = sistema + reservatório)?
A pergunta é: até qual valor de
Informações relevantes:
- Estado inicial do sistema: temperatura
. - Reservatório térmico: temperatura fixa
. - Estado final do sistema: temperatura
(equilíbrio). - Permite-se troca de calor entre sistema e reservatório.
- Pergunta: condição sobre
para que .
Passo 2
Definir as variações de entropia e as convenções de sinal (isso é teoria básica que usamos aqui).
- A variação de entropia do sistema entre dois estados é uma função de estado e pode ser escrita como
onde
é o calor trocado reversivelmente ao longo de um caminho que liga os estados. Importante:
depende só de
e
, não do caminho real.
- O reservatório é tão grande que sua temperatura permanece
durante a troca. Se o sistema absorve calor (positivo quando recebido pelo sistema), o reservatório perde esse mesmo calor, então a variação de entropia do reservatório é
- A variação de entropia do universo é
Essas fórmulas são padrão em termodinâmica; agora vamos usá‑las para comparar as grandezas pedidas.
Passo 3
Transformar a desigualdade pedida em condição útil.
Queremos saber quando
Substituindo
obtemos
Cortando
dos dois lados vem
Usando
(com
) obtemos
Logo a condição necessária e suficiente para que
é simplesmente
isto é, o sistema deve receber calor (o calor flui do reservatório para o sistema).
Passo 4
Relacionar o sinal de
com as temperaturas iniciais.
Pelo princípio físico do calor: o calor flui espontaneamente do corpo mais quente para o mais frio. Aqui o reservatório tem temperatura fixa
e o sistema começa em
. Para que o calor flua do reservatório para o sistema (isto é, para que
), o reservatório tem de ser mais quente que o sistema:
Portanto a condição equivalente sobre as temperaturas é
Se
, então
(sistema perde calor) e teremos
, de modo que a variação de entropia do universo será maior que a do sistema.
Passo 5
Aplicar isso às alternativas e comentar o caso limítrofe.
A propriedade
vale para qualquer
estritamente menor que
. O limite crítico é
: aí
,
e
— não há desigualdade estrita. Entre as alternativas dadas, a maior temperatura inicial que ainda representa o limite até o qual a desigualdade vale é
(ou seja, para
a desigualdade é verdadeira;
é o ponto de fronteira).
Das alternativas numéricas:
-
e satisfazem (a desigualdade vale). -
é o limite (não estritamente menor). -
não satisfaz (a desigualdade não vale).
Como a pergunta pede “Até qual temperatura inicial
… a variação de entropia do sistema é maior do que a do universo?”, o valor-limite superior é
.
Resposta
(c)