Um pequeno sistema termodinâmico, inicialmente a uma temperatura T_{S}, é colocado em contato com um reservatório térmico, a uma temperatura T_{R}, sendo permitida a troca de calor entre ambos. Após um certo tempo, o “universo”, formado pelo sistema termodinâmico mais o reservatório térmico, atinge o equilíbrio térmico, à temperatura T_{R}. Até qual temperatura inicial T_{S} o sistema pequeno experimenta, comparando o início e o final do processo, uma variação de entropia maior do que a variação de entropia do universo?
(a) T_{S}=T_{R} / 10
(b) T_{S}=T_{R} / 2
(c) T_{S}=T_{R}
(d) T_{S}=2 T_{R}

Passo 1

O enunciado dá um sistema pequeno com temperatura inicial T_{S} que é posto em contato térmico com um reservatório à temperatura T_{R}. Troca-se calor até que o conjunto (sistema + reservatório) atinja equilíbrio térmico à temperatura T_{R}.
A pergunta é: até qual valor de T_{S} (entre as alternativas dadas) o sistema pequeno tem, entre o início e o fim, uma variação de entropia maior do que a variação de entropia do universo (onde “universo” = sistema + reservatório)?
Informações relevantes:
  • Estado inicial do sistema: temperatura T_{S}.
  • Reservatório térmico: temperatura fixa T_{R}.
  • Estado final do sistema: temperatura T_{R} (equilíbrio).
  • Permite-se troca de calor entre sistema e reservatório.
  • Pergunta: condição sobre T_{S} para que \Delta S_{\text{sistema}} > \Delta S_{\text{universo}}.

Passo 2

Definir as variações de entropia e as convenções de sinal (isso é teoria básica que usamos aqui).
  • A variação de entropia do sistema entre dois estados é uma função de estado e pode ser escrita como
\Delta S_{\text{sistema}}=\int_{\text{inicial}}^{\text{final}}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente ao longo de um caminho que liga os estados. Importante: \Delta S_{\text{sistema}} depende só de T_{S} e T_{R}, não do caminho real.
  • O reservatório é tão grande que sua temperatura permanece \;T_{R} durante a troca. Se o sistema absorve calor Q (positivo quando recebido pelo sistema), o reservatório perde esse mesmo calor, então a variação de entropia do reservatório é
\Delta S_{\text{reservatório}}=-\frac{Q}{T_{R}}.ó
  • A variação de entropia do universo é
\Delta S_{\text{universo}}=\Delta S_{\text{sistema}}+\Delta S_{\text{reservatório}}.ó
Essas fórmulas são padrão em termodinâmica; agora vamos usá‑las para comparar as grandezas pedidas.

Passo 3

Transformar a desigualdade pedida em condição útil.
Queremos saber quando
\Delta S_{\text{sistema}}>\Delta S_{\text{universo}}.
Substituindo \Delta S_{\text{universo}}=\Delta S_{\text{sistema}}+\Delta S_{\text{reservatório}}ó obtemos
\Delta S_{\text{sistema}}>\Delta S_{\text{sistema}}+\Delta S_{\text{reservatório}}.ó
Cortando \Delta S_{\text{sistema}} dos dois lados vem
0>\Delta S_{\text{reservatório}}.ó
Usando \Delta S_{\text{reservatório}}=-\dfrac{Q}{T_{R}}ó (com T_{R}>0) obtemos
0>-\frac{Q}{T_{R}}\quad\Longrightarrow\quad Q>0.
Logo a condição necessária e suficiente para que \Delta S_{\text{sistema}}>\Delta S_{\text{universo}} é simplesmente
Q>0,
isto é, o sistema deve receber calor (o calor flui do reservatório para o sistema).

Passo 4

Relacionar o sinal de Q com as temperaturas iniciais.
Pelo princípio físico do calor: o calor flui espontaneamente do corpo mais quente para o mais frio. Aqui o reservatório tem temperatura fixa T_{R} e o sistema começa em T_{S}. Para que o calor flua do reservatório para o sistema (isto é, para que Q>0), o reservatório tem de ser mais quente que o sistema:
T_{R}>T_{S}.
Portanto a condição equivalente sobre as temperaturas é
T_{S}<T_{R}.
Se T_{S}>T_{R}, então Q<0 (sistema perde calor) e teremos \Delta S_{\text{reservatório}}>0ó, de modo que a variação de entropia do universo será maior que a do sistema.

Passo 5

Aplicar isso às alternativas e comentar o caso limítrofe.
A propriedade \Delta S_{\text{sistema}}>\Delta S_{\text{universo}} vale para qualquer T_{S} estritamente menor que T_{R}. O limite crítico é T_{S}=T_{R}: aí Q=0, \Delta S_{\text{sistema}}=0 e \Delta S_{\text{universo}}=0 — não há desigualdade estrita. Entre as alternativas dadas, a maior temperatura inicial que ainda representa o limite até o qual a desigualdade vale é T_{S}=T_{R} (ou seja, para T_{S}<T_{R} a desigualdade é verdadeira; T_{S}=T_{R} é o ponto de fronteira).
Das alternativas numéricas:
  • T_{S}=T_{R}/10 e T_{S}=T_{R}/2 satisfazem T_{S}<T_{R} (a desigualdade vale).
  • T_{S}=T_{R} é o limite (não estritamente menor).
  • T_{S}=2T_{R} não satisfaz (a desigualdade não vale).
Como a pergunta pede “Até qual temperatura inicial T_{S} … a variação de entropia do sistema é maior do que a do universo?”, o valor-limite superior é T_{S}=T_{R}.

Resposta

(c) T_{S}=T_{R}

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