Um pesquisador estuda uma população de 2000 plantas numa floresta, onde 500 são de uma espécie rara e o restante pertence a outras espécies. Ele deseja coletar uma amostra de 30 plantas para estudo genético. Considere a variável
número de plantas da espécie rara na amostra.
(a) Podemos utilizar a aproximação pela normal para calcular as probabilidades dessa variável aleatória?
(b) Calcule a probabilidade de
ser igual a 6 .
© Calcule a probabilidade de
.
(a) Podemos utilizar a aproximação pela normal para calcular as probabilidades dessa variável aleatória?
(b) Calcule a probabilidade de
© Calcule a probabilidade de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma população de 2000 plantas, das quais 500 são de uma espécie rara. O pesquisador vai coletar uma amostra de 30 plantas para estudo genético. A variável $ X $ representa o número de plantas da espécie rara nessa amostra. Vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente distribuição hipergeométrica e aproximação normal, para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.
Passo 2
Parte (a): Podemos utilizar a aproximação pela normal para calcular as probabilidades dessa variável aleatória?
Para saber se podemos usar a aproximação normal, precisamos verificar algumas condições. A aproximação normal é adequada quando a distribuição binomial ou hipergeométrica é aproximadamente simétrica e quando os parâmetros são grandes o suficiente.
No caso da distribuição hipergeométrica, uma regra prática é que $ n $ (tamanho da amostra) seja menor que 10% do tamanho da população total para minimizar a dependência entre as amostras. Além disso, devemos verificar se $ np $ e $ n(1-p) $ são ambos maiores que 5, onde $ p $ é a proporção de sucesso na população.
Vamos calcular:
- Proporção de sucesso na população: $ p = \frac{500}{2000} = 0.25 $
- $ np = 30 \times 0.25 = 7.5 $
- $ n(1-p) = 30 \times 0.75 = 22.5 $
Como $ 7.5 > 5 $ e $ 22.5 > 5 $, e a amostra de 30 é menor que 10% de 2000 (30 < 200), podemos usar a aproximação normal.
Passo 3
Parte (b): Calcule a probabilidade de $ X $ ser igual a 6.
Aqui, queremos encontrar $ P(X = 6) $. Usaremos a distribuição hipergeométrica para isso, que é adequada quando estamos lidando com amostras sem reposição.
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
Onde:
- $ N = 2000 $ (tamanho da população)
- $ K = 500 $ (número de sucessos na população)
- $ n = 30 $ (tamanho da amostra)
- $ k = 6 $ (número de sucessos na amostra)
Vamos calcular cada parte:
Esse cálculo pode ser feito usando uma calculadora científica ou software estatístico devido à complexidade dos fatores.
Passo 4
Parte ©: Calcule a probabilidade de $ X \leq 13 $.
Queremos encontrar $ P(X \leq 13) $, ou seja, a probabilidade de ter no máximo 13 plantas da espécie rara na amostra. Novamente, usaremos a distribuição hipergeométrica, mas somaremos as probabilidades de $ X = 0 $ até $ X = 13 $.
Devido à complexidade dessa soma, é recomendável utilizar software estatístico ou tabelas específicas para encontrar esse valor.
Resposta
(a) Sim, podemos utilizar a aproximação pela normal para calcular as probabilidades dessa variável aleatória.
(b) A probabilidade de $ X $ ser igual a 6 é $ \frac{\binom{500}{6} \binom{1500}{24}}{\binom{2000}{30}} $.
© A probabilidade de $ X \leq 13 $ é $ \sum_{k=0}^{13} \frac{\binom{500}{k} \binom{1500}{30-k}}{\binom{2000}{30}} $.