Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor compreender a teoria.
(g) Se 0 e sumn=1^infty an converge, então sumn=1^infty an^2 converge.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma série ∑a_n com 0<a_n<1 e sabemos que ∑a_n converge. Queremos saber se ∑a_n^2 também converge. O conteúdo aqui é séries infinitas e o teste de comparação.

Passo 2

Observação fundamental: como 0<a_n<1, ao elevar ao quadrado temos sempre a_n^2<a_n. Isso vem da propriedade de números positivos menores que 1, pois multiplicar por ele mesmo torna o valor menor.

Passo 3

Aplicação do teste de comparação: sabendo que 0≤a_n^2≤a_n e que ∑a_n é convergente, o teste de comparação garante que ∑a_n^2 também converge.

Passo 4

Conclusão: pela comparação com uma série convergente, ∑a_n^2 converge. Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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