Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L5) lim x 0 tan (x)-xx-sen(x)

Passo 1

Estamos lidando com o limite limxto0tan(x)-xx-sin(x). O conteúdo é limites de funções trigonométricas que geram indeterminação 0/0 e vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se f(0)=g(0)=0 e f,g são deriváveis, então
limxto0f(x)g(x)=limxto0f'(x)g'(x)
se esse último limite existir.

Passo 2

Substituindo diretamente x=0 no numerador e no denominador temos:
tan(0)-0=0,
0-sin(0)=0,
logo é uma indeterminação 0/0, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Primeira aplicação de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador:
Numerador: ddx[tan(x)-x]=sec^2(x)-1=tan^2(x).
Denominador: ddx[x-sin(x)]=1-cos(x).
Fica agora
limxto0tan^2(x)1-cos(x)
Substituindo x=0 ainda dá 0/0, então repetimos.

Passo 4

Segunda aplicação de L’Hôpital: derivamos de novo:
Numerador: ddx[tan^2(x)]=2tan(x)sec^2(x).
Denominador: ddx[1-cos(x)]=sin(x).
Agora o limite é
limxto02tan(x)sec^2(x)sin(x)
Substituindo x=0 continua sendo 0/0, então aplicamos pela terceira vez.

Passo 5

Terceira aplicação de L’Hôpital: derivamos novamente:
Numerador:
ddx[2tan(x)sec^2(x)] =2l[(sec^2(x))^2+2tan^2(x)sec^2(x)r] =2sec^2(x)l[sec^2(x)+2tan^2(x)r]
Denominador: ddx[sin(x)]=cos(x).
Então o limite vira
limxto02sec^2(x)[sec^2(x)+2tan^2(x)]cos(x)
Agora substituímos x=0: sec(0)=1, tan(0)=0, cos(0)=1.

Passo 6

Ao substituir, o numerador vale
2cdot1^2l[1+2cdot0^2r]=2,
e o denominador vale 1. Logo o limite é 2.

Resposta

2

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