Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L5)
Passo 1
Estamos lidando com o limite
. O conteúdo é limites de funções trigonométricas que geram indeterminação
e vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se
e
são deriváveis, então
se esse último limite existir.
Passo 2
Substituindo diretamente
no numerador e no denominador temos:
logo é uma indeterminação
, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Primeira aplicação de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador:
Numerador: .
Denominador: .
Fica agora
Numerador:
Denominador:
Fica agora
Substituindo
ainda dá
, então repetimos.
Passo 4
Segunda aplicação de L’Hôpital: derivamos de novo:
Numerador: .
Denominador: .
Agora o limite é
Numerador:
Denominador:
Agora o limite é
Substituindo
continua sendo
, então aplicamos pela terceira vez.
Passo 5
Terceira aplicação de L’Hôpital: derivamos novamente:
Numerador:
Numerador:
Denominador:
.
Então o limite vira
Então o limite vira
Agora substituímos
:
,
,
.
Passo 6
Ao substituir, o numerador vale
e o denominador vale
. Logo o limite é
.
Resposta
2